En la rama de las matemáticas conocida como teoría de órdenes , una celosía semimodular , es una celosía que satisface la siguiente condición:
- Ley semimodular
- a ∧ b <: a implica b <: a ∨ b .
La notación a <: b significa que b cubre a , es decir, a < b y no hay ningún elemento c tal que a < c < b .
Un retículo delimitado semimodular atomístico (por lo tanto, algebraico ) se llama retículo matroide porque tales retículos son equivalentes a matroides (simples) . Una red atomística semimodular acotada de longitud finita se llama red geométrica y corresponde a una matroide de rango finito. [1]
Las celosías semimodulares también se conocen como celosías semimodulares superiores; la noción dual es la de una celosía semimodular inferior . Una celosía finita es modular si y solo si es semimodular superior e inferior.
Una red finita, o más generalmente una red que satisface la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente, es semimodular si y solo si es M-simétrica . Algunos autores se refieren a las celosías simétricas M como celosías semimodulares. [2]
Condición de Birkhoff
Una celosía a veces se denomina débilmente semimodular si satisface la siguiente condición debida a Garrett Birkhoff :
- Condición de Birkhoff
- Si un ∧ b <: un y una ∧ b <: b ,
- a continuación, un <: una ∨ b y b <: una ∨ b .
Cada celosía semimodular es débilmente semimodular. Lo contrario es cierto para las celosías de longitud finita y, más generalmente, para las celosías relativamente atómicas superiores continuas (se encuentran distribuidas sobre uniones de cadenas) .
Condición de Mac Lane
Las siguientes dos condiciones son equivalentes entre sí para todas las celosías. Fueron encontrados por Saunders Mac Lane , quien buscaba una condición que sea equivalente a la semimodularidad para celosías finitas, pero que no involucre la relación de cobertura.
- Condición 1 de Mac Lane
- Para cualquier a, b, c tal que b ∧ c < a < c < b ∨ a ,
- hay un elemento d tal que b ∧ c < d ≤ b y a = ( a ∨ d ) ∧ c .
- Condición 2 de Mac Lane
- Para cualquier a, b, c tal que b ∧ c < a < c < b ∨ c ,
- hay un elemento d tal que b ∧ c < d ≤ b y a = ( a ∨ d ) ∧ c .
Cada celosía que satisface la condición de Mac Lane es semimodular. Lo contrario es cierto para las redes de longitud finita y, más generalmente, para las redes relativamente atómicas . Además, cada celosía continua superior que satisface la condición de Mac Lane es M-simétrica.
Notas
- ^ Estas definiciones siguen a Stern (1999). Algunos autores utilizan el término celosía geométrica para las celosías matroides más generales. Pero la mayoría de los autores solo se ocupan del caso finito, en el que ambas definiciones equivalen a semimodular y atomístico.
- ^ Por ejemplo Fofanova (2001).
Referencias
- Fofanova, T. S. (2001) [1994], " Celosía semimodular " , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press. (El artículo trata sobre celosías simétricas M).
- Stern, Manfred (1999), celosías semimodulares , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46105-4.