Método de bisección
En matemáticas , el método de bisección es un método de búsqueda de raíces que se aplica a cualquier función continua para la que se conocen dos valores con signos opuestos. El método consiste en bisecar repetidamente el intervalo definido por estos valores y luego seleccionar el subintervalo en el que la función cambia de signo, por lo que debe contener una raíz . Es un método muy simple y robusto, pero también relativamente lento. Debido a esto, a menudo se usa para obtener una aproximación aproximada a una solución que luego se usa como punto de partida para métodos de convergencia más rápida. [1] El método también se denomina reducción a la mitad del intervalo.método, [2] el método de búsqueda binaria , [3] o el método de dicotomía . [4]
Para polinomios , existen métodos más elaborados para probar la existencia de una raíz en un intervalo ( regla de los signos de Descartes , el teorema de Sturm , el teorema de Budan ). Permiten extender el método de bisección en algoritmos eficientes para encontrar todas las raíces reales de un polinomio; consulte Aislamiento de raíz real .
El método es aplicable para resolver numéricamente la ecuación f ( x ) = 0 para la variable real x , donde f es una función continua definida en un intervalo [ a , b ] y donde f ( a ) yf ( b ) tienen signos opuestos. . En este caso una y b se dice que están entre paréntesis una raíz, ya que, por el teorema de valor intermedio , la función continua f debe tener al menos una raíz en el intervalo ( a , b ).
En cada paso, el método divide el intervalo en dos partes / mitades calculando el punto medio c = ( a + b ) / 2 del intervalo y el valor de la función f ( c ) en ese punto. A menos que c sea en sí misma una raíz (lo cual es muy poco probable, pero posible), ahora solo hay dos posibilidades: o f ( a ) yf ( c ) tienen signos opuestos y entre corchetes una raíz, o f ( c ) yf ( b ) tienen signos opuestos y corchetes una raíz. [5]El método selecciona el subintervalo que se garantiza que será un paréntesis como el nuevo intervalo que se utilizará en el siguiente paso. De esta manera, un intervalo que contiene un cero de f se reduce en ancho en un 50% en cada paso. El proceso continúa hasta que el intervalo sea lo suficientemente pequeño.
Explícitamente, si f ( a ) yf ( c ) tienen signos opuestos, entonces el método establece c como el nuevo valor para b , y si f ( b ) yf ( c ) tienen signos opuestos, entonces el método establece c como el nuevo valor. a . (Si f ( c ) = 0, entonces c puede tomarse como la solución y el proceso se detiene.) En ambos casos, las nuevas f ( a ) y f ( b) tienen signos opuestos, por lo que el método es aplicable a este intervalo más pequeño. [6]
La entrada para el método es una función continua f , un intervalo [ a , b ] y los valores de la función f ( a ) yf ( b ). Los valores de la función son de signo opuesto (hay al menos un cruce por cero dentro del intervalo). Cada iteración realiza estos pasos:
