En matemáticas , y más específicamente en análisis numérico y álgebra computacional , el aislamiento de raíz real de un polinomio consiste en producir intervalos disjuntos de la línea real , que contienen cada una (y solo una) raíz real del polinomio y, juntos, contienen todas las raíces reales del polinomio.
El aislamiento de raíz real es útil porque los algoritmos habituales de búsqueda de raíces para calcular las raíces reales de un polinomio pueden producir algunas raíces reales, pero, en general, no pueden certificar haber encontrado todas las raíces reales. En particular, si tal algoritmo no encuentra ninguna raíz, no se sabe si es porque no existe una raíz real. Algunos algoritmos calculan todas las raíces complejas, pero, como generalmente hay muchas menos raíces reales que raíces complejas, la mayor parte de su tiempo de cálculo se emplea generalmente para calcular raíces no reales (en promedio, un polinomio de grado n tiene n raíces complejas, y solo log n raíces reales; ver Propiedades geométricas de raíces polinomiales § Raíces reales). Además, puede ser difícil distinguir las raíces reales de las raíces no reales con una pequeña parte imaginaria (ver el ejemplo del polinomio de Wilkinson en la siguiente sección).
El primer algoritmo completo de aislamiento de raíz real es el resultado del teorema de Sturm (1829). Sin embargo, cuando los algoritmos de aislamiento de raíz real comenzaron a implementarse en computadoras , pareció que los algoritmos derivados del teorema de Sturm eran menos eficientes que los derivados de la regla de los signos de Descartes (1637).
Desde principios del siglo XX existe una activa actividad investigadora para mejorar los algoritmos derivados de la regla de signos de Descartes, conseguir implementaciones muy eficientes y calcular su complejidad computacional . Las mejores implementaciones pueden aislar de forma rutinaria raíces reales de polinomios de grado superior a 1000. [1] [2]
Especificaciones y estrategia general
Para encontrar raíces reales de un polinomio, la estrategia común es dividir la línea real (o un intervalo de la misma donde se busca la raíz) en intervalos disjuntos hasta tener como máximo una raíz en cada intervalo. Este procedimiento se denomina aislamiento de raíz y un intervalo resultante que contiene exactamente una raíz es un intervalo de aislamiento para esta raíz.
El polinomio de Wilkinson muestra que una modificación muy pequeña de un coeficiente de un polinomio puede cambiar drásticamente no solo el valor de las raíces, sino también su naturaleza (real o compleja). Además, incluso con una buena aproximación, cuando se evalúa un polinomio en una raíz aproximada, se puede obtener un resultado que está lejos de ser cercano a cero. Por ejemplo, si un polinomio de grado 20 (el grado del polinomio de Wilkinson) tiene una raíz cercana a 10, la derivada del polinomio en la raíz puede ser del orden de esto implica que un error de sobre el valor de la raíz puede producir un valor del polinomio en la raíz aproximada que es del orden de De ello se deduce que, excepto quizás para grados muy bajos, un procedimiento de aislamiento de raíz no puede dar resultados confiables sin usar aritmética exacta. Por lo tanto, si se quiere aislar las raíces de un polinomio con coeficientes de coma flotante , a menudo es mejor convertirlas en números racionales y luego tomar la parte primitiva del polinomio resultante, por tener un polinomio con coeficientes enteros.
Por esta razón, aunque los métodos que se describen a continuación funcionan teóricamente con números reales, generalmente se utilizan en la práctica con polinomios con coeficientes enteros e intervalos que terminan en números racionales. Además, siempre se supone que los polinomios están libres de cuadrados . Hay dos razones para eso. En primer lugar, el algoritmo de Yun para calcular la factorización libre de cuadrados es menos costoso que el doble del costo del cálculo del máximo común divisor del polinomio y su derivada. Como esto puede producir factores de grados más bajos, generalmente es ventajoso aplicar algoritmos de aislamiento de raíces solo en polinomios sin raíces múltiples, incluso cuando el algoritmo no lo requiera. La segunda razón para considerar solo polinomios libres de cuadrados es que los algoritmos más rápidos de aislamiento de raíces no funcionan en el caso de múltiples raíces.
Para el aislamiento de raíces, se requiere un procedimiento para contar las raíces reales de un polinomio en un intervalo sin tener que calcularlas, o al menos un procedimiento para decidir si un intervalo contiene cero, una o más raíces. Con tal procedimiento de decisión, se puede trabajar con una lista de trabajo de intervalos que pueden contener raíces reales. Al principio, la lista contiene un único intervalo que contiene todas las raíces de interés, generalmente la línea real completa o su parte positiva. Luego, cada intervalo de la lista se divide en dos intervalos más pequeños. Si uno de los nuevos intervalos no contiene ninguna raíz, se elimina de la lista. Si contiene una raíz, se coloca en una lista de salida de intervalos de aislamiento. De lo contrario, se mantiene en la lista de trabajo para futuras divisiones, y el proceso puede continuar hasta que finalmente se aíslen todas las raíces.
Teorema de Sturm
El primer procedimiento completo de aislamiento de raíces resulta del teorema de Sturm (1829), que expresa el número de raíces reales en un intervalo en términos del número de variaciones de signo de los valores de una secuencia de polinomios, llamada secuencia de Sturm , en los extremos de el intervalo. La secuencia de Sturm es la secuencia de residuos que ocurren en una variante del algoritmo euclidiano aplicado al polinomio y sus derivados. Cuando se implementó en computadoras, pareció que el aislamiento de la raíz con el teorema de Sturm es menos eficiente que los otros métodos que se describen a continuación. [3] En consecuencia, el teorema de Sturm rara vez se usa para cálculos efectivos, aunque sigue siendo útil para propósitos teóricos.
La regla de los signos de Descartes y sus generalizaciones
La regla de los signos de Descartes afirma que la diferencia entre el número de variaciones de signo en la secuencia de los coeficientes de un polinomio y el número de sus raíces reales positivas es un número entero par no negativo. Resulta que si este número de variaciones de signo es cero, entonces el polinomio no tiene raíces reales positivas y, si este número es uno, entonces el polinomio tiene una raíz real positiva única, que es una raíz única. Desafortunadamente, lo contrario no es cierto, es decir, un polinomio que no tiene raíz real positiva o tiene una sola raíz simple positiva puede tener un número de variaciones de signo mayor que 1.
Esto ha sido generalizado por el teorema de Budan (1807), en un resultado similar para las raíces reales en un intervalo semiabierto ( a , b ] : si f ( x ) es un polinomio, yv es la diferencia entre los números de signo de las variaciones de las secuencias de los coeficientes de f ( x + a ) y f ( x + b ) , entonces v menos el número de raíces reales en el intervalo de, contados con sus multiplicidades, es un número entero incluso no negativo. Esta es una generalización de la regla de los signos de Descartes, porque, para b suficientemente grande, no hay variación de signo en los coeficientes de f ( x + b ) , y todas las raíces reales son menores que b .
Budan puede proporcionar un algoritmo de aislamiento de raíz real para un polinomio libre de cuadrados (un polinomio sin raíz múltiple): a partir de los coeficientes del polinomio, se puede calcular un límite superior M de los valores absolutos de las raíces y un límite inferior m en los valores absolutos de las diferencias de dos raíces (ver Propiedades de raíces polinomiales ). Entonces, si uno divide el intervalo [- M , M ] en intervalos de longitud menor que m , entonces cada raíz real está contenida en algún intervalo y ningún intervalo contiene dos raíces. Los intervalos de aislamiento son, por tanto, los intervalos para los que el teorema de Budan afirma un número impar de raíces.
Sin embargo, este algoritmo es muy ineficiente, ya que no se puede usar una partición más gruesa del intervalo [- M , M ] , porque, si el teorema de Budan da un resultado mayor que 1 para un intervalo de mayor tamaño, no hay forma de asegurar que no contiene varias raíces.
El teorema de Vincent (1834) [4] proporciona un método para el aislamiento de la raíz real, que está en la base de los algoritmos de aislamiento de la raíz real más eficientes. Se trata de las raíces reales positivas de unpolinomio libre de cuadrados(es decir, un polinomio sin raíces múltiples). Si es una secuencia de números reales positivos, sea
ser el k- ésimo convergente de la fracción continua
Teorema de Vincent - Seaser un polinomio libre de cuadrados de grado n , yser una secuencia de números reales. Para i = 1, 2, ..., considere el polinomio
Entonces, hay un entero k tal que o la secuencia de los coeficientes de tiene como máximo una variación de signo.
En el primer caso, la convergente c k es una raíz positiva de De lo contrario, este número de variaciones de signo (0 o 1) es el número de raíces reales de en el intervalo definido por y
Para probar su teorema, Vincent demostró un resultado que es útil por sí solo: [4]
Teorema auxiliar de Vincent : si p ( x ) es un polinomio libre de cuadrados de grado n , y a , b , c , d son números reales no negativos tales que es lo suficientemente pequeño (pero no 0), entonces hay como máximo una variación de signo en los coeficientes del polinomio
y este número de variaciones de signo es el número de raíces reales de p ( x ) en el intervalo abierto definido por y
Para trabajar con números reales, siempre se puede elegir c = d = 1 , pero, como los cálculos efectivos se realizan con números racionales , generalmente es conveniente suponer que a , b , c , d son números enteros.
La condición "suficientemente pequeña" ha sido cuantificada de forma independiente por Nikola Obreshkov , [5] y Alexander Ostrowski : [6]
Teorema (Obreschkoff-Ostrowski) : la conclusión del resultado auxiliar de Vincent se cumple si el polinomio p ( x ) tiene como máximo una raíz α + iβ tal que
En particular, la conclusión es válida si
donde sep ( p ) es la distancia mínima entre dos raíces de p .
Para polinomios con coeficientes enteros, la distancia mínima sep ( p ) puede tener un límite inferior en términos del grado del polinomio y el valor absoluto máximo de sus coeficientes; ver Propiedades de las raíces polinomiales § Separación de raíces . Esto permite el análisis de la complejidad del peor de los casos de algoritmos basados en los teoremas de Vincent. Sin embargo, el teorema de Obreschkoff-Ostrowski muestra que el número de iteraciones de estos algoritmos depende de las distancias entre raíces en la vecindad del intervalo de trabajo; por lo tanto, el número de iteraciones puede variar dramáticamente para diferentes raíces del mismo polinomio.
James V. Uspensky dio un límite a la longitud de la fracción continua (el entero k necesario, en el teorema de Vincent, para obtener variaciones de un signo o cero: [1] [7]
Teorema (Uspensky) - Sea p ( x ) un polinomio de grado n , y sep ( p ) la distancia mínima entre dos raíces de p . Dejar
Entonces el entero k , cuya existencia se afirma en el teorema de Vincent, no es mayor que el entero más pequeño h tal que
dónde es el h ésimo número de Fibonacci .
Método de fracción continua
Vincent ha introducido el uso de fracciones continuas para el aislamiento de la raíz real, aunque le dio crédito a Joseph-Louis Lagrange por esta idea, sin proporcionar una referencia. [4] Para hacer un algoritmo del teorema de Vincent, uno debe proporcionar un criterio para elegir elque ocurren en su teorema. Vincent mismo proporcionó algunas opciones (ver más abajo). Algunas otras opciones son posibles y la eficiencia del algoritmo puede depender dramáticamente de estas opciones. A continuación se presenta un algoritmo, en el que estas elecciones resultan de una función auxiliar que se discutirá más adelante.
Para ejecutar este algoritmo, se debe trabajar con una lista de intervalos representados por una estructura de datos específica. El algoritmo funciona eligiendo un intervalo, eliminándolo de la lista, agregando cero, uno o dos intervalos más pequeños a la lista y posiblemente genera un intervalo de aislamiento.
Para aislar las raíces reales de un polinomio p ( x ) de grado n , cada intervalo está representado por un pardonde A ( x ) es un polinomio de grado n yes una transformación de Möbius con coeficientes enteros. Uno tiene
y el intervalo representado por esta estructura de datos es el intervalo que tiene y como puntos finales. La transformación de Möbius mapea las raíces de p en este intervalo a las raíces de A en (0, + ∞) .
El algoritmo trabaja con una lista de intervalos que, al principio, contiene los dos intervalos y correspondiente a la partición de los reales en positivos y negativos (se puede suponer que cero no es raíz, ya que, si lo fuera, basta con aplicar el algoritmo ap ( x ) / x ). Luego, para cada intervalo ( A ( x ), M ( x )) en la lista, el algoritmo lo elimina de la lista; si el número de variaciones de signo de los coeficientes de A es cero, no hay raíz en el intervalo y se pasa al siguiente intervalo. Si el número de variaciones de signo es uno, el intervalo definido por y es un intervalo de aislamiento. De lo contrario, se elige un número real positivo b para dividir el intervalo (0, + ∞) en (0, b) y (b, + ∞) , y, para cada subintervalo, se compone M con una transformación de Möbius que mapea el intervalo en (0, + ∞) , para obtener dos nuevos intervalos que se agregarán a la lista. En pseudocódigo, esto da la siguiente, donde var ( A ) indica el número de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio A .
función fracción continua es entrada : P (x), un polinomio libre de cuadrados , salida : una lista de pares de números racionales que definen intervalos de aislamiento / * Inicialización * / L: = [(P (x), x), (P (–x), –x)] / * dos intervalos de inicio * / Isol: = [] / * Computación * / mientras que L ≠ [] no Elija (A (x), M (x)) en L, y sacarlo de L v: = var ( A ) si v = 0 entonces salir / * sin raíz en el intervalo * / si v = 1 entonces / * intervalo de aislamiento encontrado * / agregar (M (0), M (∞)) a la salida de Isol b: = algún entero positivo B (x) = A (x + b) w: = v - var (B) si B (0) = 0 entonces / * raíz racional encontrada * / suma (M (b), M (b)) a Isol B (x): = B (x) / x sumar (B (x), M (b + x) a L / * raíces en (b, + ∞) * / si w = 0 entonces salga / * teorema de Budan * / si w = 1 entonces / * teorema de Budan nuevamente * / suma (M (0), M (b)) a Isol si w> 1 luego suma A (b / (1 + x)), M (b / (1 + x)) a las raíces L / * en (0 , B) */
Las diferentes variantes del algoritmo dependen esencialmente de la elección de b . En los artículos de Vincent, y en el libro de Uspensky, siempre se tiene b = 1 , con la diferencia de que Uspensky no usó el teorema de Budan para evitar bisecciones adicionales del intervalo asociado a (0, b)
El inconveniente de elegir siempre b = 1 es que hay que hacer muchos cambios sucesivos de variable de la forma x → 1 + x . Estos pueden ser reemplazados por un solo cambio de variable x → n + x , pero, sin embargo, uno tiene que hacer los cambios intermedios de variables para aplicar el teorema de Budan.
Una forma de mejorar la eficiencia del algoritmo es tomar para b un límite inferior de las raíces reales positivas, calculado a partir de los coeficientes del polinomio (ver Propiedades de las raíces polinomiales para tales límites). [8] [1]
Método de bisección
El método de bisección consiste aproximadamente en partir de un intervalo que contiene todas las raíces reales de un polinomio y lo divide de forma recursiva en dos partes hasta obtener finalmente intervalos que contienen una raíz o cero. El intervalo inicial puede ser de la forma (- B , B ) , donde B es un límite superior de los valores absolutos de las raíces, como los que se dan en Propiedades de las raíces polinómicas § Límites de las raíces polinómicas (complejas) . Por razones técnicas (cambios más simples de variable, análisis de complejidad más simple , posibilidad de aprovechar el análisis binario de computadoras), los algoritmos generalmente se presentan comenzando con el intervalo [0, 1] . No hay pérdida de generalidad, ya que los cambios de las variables x = By y x = - By mueven respectivamente las raíces positivas y negativas en el intervalo [0, 1] . ( También se puede usar la variable de cambios simples x = (2 By - B ) ).
El método requiere un algoritmo para probar si un intervalo tiene cero, una o posiblemente varias raíces, y para garantizar la terminación, este algoritmo de prueba debe excluir la posibilidad de obtener infinitas veces la salida "posibilidad de varias raíces". El teorema de Sturm y el teorema auxiliar de Vincent proporcionan pruebas tan convenientes. Como el uso de la regla de los signos de Descartes y el teorema auxiliar de Vincent es mucho más eficiente desde el punto de vista computacional que el uso del teorema de Sturm, solo el primero se describe en esta sección.
El método de bisección basado en las reglas de los signos de Descartes y el teorema auxiliar de Vincent fue introducido en 1976 por Akritas y Collins con el nombre de algoritmo Uspensky modificado , [3] y ha sido denominado algoritmo Uspensky , Vincent-Akritas-Collins. algoritmo , o método de Descartes , aunque Descartes, Vincent y Uspensky nunca lo describieron.
El método funciona de la siguiente manera. Para buscar las raíces en algún intervalo, primero se cambia la variable para mapear el intervalo en [0, 1] dando un nuevo polinomio q ( x ) . Para buscar las raíces de q en [0, 1] , se asigna el intervalo [0, 1] a [0, + ∞]) mediante el cambio de variabledando un polinomio r ( x ) . La regla de signos de Descartes aplicada al polinomio r da indicaciones sobre el número de raíces reales de q en el intervalo [0, 1] y, por lo tanto, sobre el número de raíces del polinomio inicial en el intervalo que se ha mapeado en [0 , 1] . Si no hay variación de signo en la secuencia de los coeficientes de r , entonces no hay raíz real en los intervalos considerados. Si hay una variación de signo, entonces uno tiene un intervalo de aislamiento. De lo contrario, se divide el intervalo [0, 1] en [0, 1/2] y [1/2, 1] , se los asigna a [0, 1] mediante los cambios de la variable x = y / 2 y x = ( y + 1) / 2 . El teorema auxiliar de Vincent asegura la terminación de este procedimiento.
Excepto por la inicialización, todos estos cambios de variable consisten en la composición de como máximo dos cambios de variable muy simples que son las escalas por dos x → x / 2 , la traslación x → x + 1 , y la inversión x → 1 / x , este último consistente simplemente en revertir el orden de los coeficientes del polinomio. Como la mayor parte del tiempo de cálculo se dedica a cambios de variable, el método que consiste en mapear cada intervalo a [0, 1] es fundamental para asegurar una buena eficiencia.
Pseudocódigo
La siguiente notación se usa en el pseudocódigo que sigue.
- p ( x ) es el polinomio para el quedeben aislarselas raíces reales en el intervalo [0, 1]
- var ( q ( x )) denota el número de variaciones de signo en la secuencia de los coeficientes del polinomio q
- Los elementos de la lista de trabajo tienen la forma ( c , k , q ( x )) , donde
- c y k son dos enteros no negativos tales que c <2 k , que representan el intervalo
- donde n es el grado de p (el polinomio q puede calcularse directamente a partir de p , c y k , pero es menos costoso calcularlo incrementalmente, como se hará en el algoritmo; si p tiene coeficientes enteros, lo mismo es cierto para q )
función de bisección es de entrada : p ( x ) , un polinomio libre de cuadrado , de manera que p (0) p (1) ≠ 0 , para las cuales se buscan las raíces en el intervalo [0, 1] salida : una lista de triples ( c , k , h ) , representando intervalos de aislamiento de la forma / * Inicialización * / L: = [(0, 0, p ( x ))] / * un solo elemento en la lista de trabajo L * / Isol: = [] n: = grado ( p }} / * Computación * / mientras que L ≠ [] no Elija (c, k, q ( x )) en L, y sacarlo de L si q (0) = 0 entonces q ( x ): = q ( x ) / x n: = n - 1 / * Una raíz racional encontrada * / agregar (c, k, 0) a Isol v: = si v = 1 entonces / * Un intervalo de aislamiento encontrado * / suma (c, k, 1) a Isol si v> 1 entonces / * Bisecta * / suma (2c, k + 1, a L sumar (2c + 1, k + 1, al final L
Este procedimiento es esencialmente el descrito por Collins y Akritas. [3] El tiempo de ejecución depende principalmente del número de intervalos que deben considerarse y de los cambios de variables. Hay formas de mejorar la eficiencia, que han sido un tema activo de investigación desde la publicación del algoritmo, y principalmente desde principios del siglo XXI.
Mejoras recientes
Se han propuesto varias formas de mejorar el algoritmo de bisección de Akritas-Collins. Incluyen un método para evitar almacenar una larga lista de polinomios sin perder la simplicidad de los cambios de variables, [9] el uso de aritmética aproximada (aritmética de coma flotante e intervalo ) cuando permite obtener el valor correcto para el número de variaciones de signo , [9] el uso del método de Newton cuando sea posible, [9] el uso de aritmética polinomial rápida, [10] atajos para cadenas largas de bisecciones en caso de grupos de raíces cercanas, [10] bisecciones en partes desiguales para limitar problemas de inestabilidad en evaluación polinomial. [10]
Todas estas mejoras conducen a un algoritmo para aislar todas las raíces reales de un polinomio con coeficientes enteros, que tiene la complejidad (usando la notación O suave , Õ , para omitir factores logarítmicos)
donde n es el grado del polinomio, k es el número de términos distintos de cero, t es el máximo de dígitos de los coeficientes. [10]
La implementación de este algoritmo parece ser más eficiente que cualquier otro método implementado para calcular las raíces reales de un polinomio, incluso en el caso de polinomios que tienen raíces muy cercanas (el caso que anteriormente era el más difícil para el método de bisección). [2]
Referencias
- ↑ a b c Tsigaridas y Emiris, 2006
- ^ a b Kobel, Rouillier y Sagraloff 2016
- ^ a b c Collins y Akritas, 1976
- ↑ a b c Vincent, 1834
- ^ Obreschkoff 1963
- ^ Ostrowski 1950
- ↑ Uspensky, 1948
- ^ Akritas y Strzeboński, 2005
- ^ a b c Rouillier y Zimmerman 2004
- ^ a b c d Sagraloff y Mehlhorn, 2016
Fuentes
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- Akritas, Alkiviadis G. (1986). No existe el "método de Uspensky" . Actas del quinto Simposio ACM sobre Computación Algebraica y Simbólica (SYMSAC '86). Waterloo, Ontario, Canadá. págs. 88–90.
- Akritas, Alkiviadis G .; Strzeboński, AW; Vigklas, PS (2008). "Mejora del rendimiento del método de fracciones continuas utilizando nuevos límites de raíces positivas" (PDF) . Análisis no lineal: modelado y control . 13 (3): 265-279. doi : 10.15388 / NA.2008.13.3.14557 .
- Akritas, Alkiviadis G .; Strzeboński, Adam W. (2005). "Un estudio comparativo de dos métodos de aislamiento de raíces reales" (PDF) . Análisis no lineal: modelado y control . 10 (4): 297-304. doi : 10.15388 / NA.2005.10.4.15110 .
- Collins, George E .; Akritas, Alkiviadis G. (1976). Aislamiento polinomial de la raíz real utilizando la regla de signos de Descartes . SYMSAC '76, Actas del tercer simposio ACM sobre computación simbólica y algebraica. Yorktown Heights, NY, EE.UU .: ACM. págs. 272-275. doi : 10.1145 / 800205.806346 .
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