Aproximación de fase estacionaria

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En matemáticas , la aproximación de la fase estacionaria es un principio básico del análisis asintótico , que se aplica al límite como .${\ Displaystyle k \ to \ infty}$

Este método se origina en el siglo XIX y se debe a George Gabriel Stokes y Lord Kelvin . ^[1] Está estrechamente relacionado con el método de Laplace y el método de descenso más pronunciado , pero la contribución de Laplace precede a las demás.

La idea principal de los métodos de fase estacionaria se basa en la cancelación de sinusoides con una fase que varía rápidamente. Si muchas sinusoides tienen la misma fase y se suman, se sumarán de forma constructiva. Sin embargo, si estas mismas sinusoides tienen fases que cambian rápidamente a medida que cambia la frecuencia, se sumarán incoherentemente, variando entre adiciones constructivas y destructivas en diferentes momentos.

Dejando denotar el conjunto de puntos críticos de la función (es decir, puntos donde ), bajo el supuesto de que está soportado de forma compacta o tiene un decaimiento exponencial, y que todos los puntos críticos son no degenerados (es decir, para ) tenemos la siguiente fórmula asintótica, como :${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nabla f = 0}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ det (\ mathrm {Hess} (f (x_ {0}))) \ neq 0}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle k \ to \ infty}$

Aquí denota el hessiano de y denota la firma del hessiano, es decir, el número de valores propios positivos menos el número de valores propios negativos.${\ Displaystyle \ mathrm {Hess} (f)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathrm {sgn} (\ mathrm {Hess} (f))}$

Porque , esto se reduce a:${\ Displaystyle n = 1}$

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