Análisis asintótico

Descripción del comportamiento limitante de una función

Este artículo trata sobre el comportamiento de las funciones cuando las entradas se acercan al infinito o algún otro valor límite. Para obtener asíntotas en geometría , consulte Asíntota .

En el análisis matemático , el análisis asintótico , también conocido como asintótico , es un método para describir el comportamiento limitante .

Como ilustración, suponga que estamos interesados ​​en las propiedades de una función f ( n ) cuando n se vuelve muy grande. Si f ( n ) = n ² + 3 n , entonces cuando n se vuelve muy grande, el término 3 n se vuelve insignificante comparado con n ² . Se dice que la función f ( n ) es " asintóticamente equivalente a n ² , ya que n  → ∞ ". Esto a menudo se escribe simbólicamente como f (n ) ~ n ² , que se lee como " f ( n ) es asintótica an ² ".

Un ejemplo de un resultado asintótico importante es el teorema de los números primos . Deje que π ( x ) denote la función de conteo de primos (que no está directamente relacionada con la constante pi ), es decir, π ( x ) es el número de números primos que son menores o iguales que x . Entonces el teorema establece que

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$

Definición

Formalmente, dadas las funciones f ( x ) y g ( x ) , definimos una relación binaria

${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$

si y solo si ( de Bruijn 1981 , §1.4)

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

El símbolo ~ es la tilde . La relación es una relación de equivalencia en el conjunto de funciones de x ; las funciones f y g se dice que son asintóticamente equivalente . El dominio de f y g puede ser cualquier conjunto para el que se define el límite: números reales por ejemplo, números complejos, números enteros positivos.

La misma notación también se utiliza para otras formas de pasar a un límite: por ejemplo, x  → 0 , x  ↓ 0 , | x | → 0 . La forma de pasar al límite a menudo no se establece explícitamente, si se desprende del contexto.

Aunque la definición anterior es común en la literatura, es problemática si g ( x ) es cero infinitamente a menudo cuando x llega al valor límite. Por eso, algunos autores utilizan una definición alternativa. La definición alternativa, en notación pequeña-o , es que f ~ g si y solo si

${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$

Esta definición es equivalente a la definición anterior si g ( x ) no es cero en alguna vecindad del valor límite. ^{[1] [2]}

Propiedades

Si y , en algunas condiciones leves, lo siguiente se mantiene.${\displaystyle f\sim g}$${\displaystyle a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, por cada r real
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Tales propiedades permiten que funciones asintóticamente equivalentes se intercambien libremente en muchas expresiones algebraicas.

Ejemplos de fórmulas asintóticas

• Factorial

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

—Esta es la aproximación de Stirling

• Función de partición

Para un entero positivo n , la función de partición, p ( n ), da el número de formas de escribir el entero n como una suma de enteros positivos, donde no se considera el orden de los sumandos.

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Función Airy

La función de Airy, Ai ( x ), es una solución de la ecuación diferencial   y '' - xy = 0 ; tiene muchas aplicaciones en física.

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

• Funciones de Hankel

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$

Construcción

General

Considerar:

${\displaystyle h(x)=f(x)(1-F(x))+g(x)F(x)}$

donde y son funciones analíticas de valor real , y es una función de distribución acumulativa .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle F(x)}$

Entonces es asintótico a as y asintótico a as .${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\to (-\infty )}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x\to (+\infty )}$

Asintótico a dos polinomios diferentes

Supongamos que queremos una función de valor real que sea asintótica con as y que sea asintótica con as . Luego${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x)}$${\displaystyle x\to (-\infty )}$${\displaystyle (b_{0}+b_{1}x)}$${\displaystyle x\to (+\infty )}$

${\displaystyle h(x)=(a_{0}+a_{1}x)(1-F(x))+(b_{0}+b_{1}x)F(x)}$

hará esto.

Expansión asintótica

Artículo principal: expansión asintótica

Una expansión asintótica de una función f ( x ) es en la práctica una expresión de esa función en términos de una serie , cuyas sumas parciales no necesariamente convergen, pero tales que tomar cualquier suma parcial inicial proporciona una fórmula asintótica para f . La idea es que los términos sucesivos proporcionen una descripción cada vez más precisa del orden de crecimiento de f .

En símbolos, significa que tenemos pero también y para cada k fijo . En vista de la definición del símbolo, la última ecuación significa en notación o pequeña , es decir, es mucho menor que${\displaystyle f\sim g_{1},}$${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$${\displaystyle g_{k}.}$

La relación toma todo su significado si para todo k , lo que significa que forma una escala asintótica . En ese caso, algunos autores pueden escribir abusivamente para denotar el enunciado. Sin embargo, se debe tener cuidado de que este no es un uso estándar del símbolo y que no corresponde a la definición dada en el § Definición .${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$${\displaystyle g_{k}}$${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$${\displaystyle \sim }$

En la situación actual, esta relación se sigue de la combinación de los pasos k y k −1; restando de uno se obtiene ie${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

En caso de que la expansión asintótica no converja, para cualquier valor particular del argumento habrá una suma parcial particular que proporcione la mejor aproximación y la adición de términos adicionales disminuirá la precisión. Esta suma parcial óptima generalmente tendrá más términos a medida que el argumento se acerca al valor límite.

Ejemplos de expansiones asintóticas

• Función gamma

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$

• Integral exponencial

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$

• Función de error

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$

donde (2 n  - 1) !! es el factorial doble .

Ejemplo resuelto

Las expansiones asintóticas a menudo ocurren cuando se usa una serie ordinaria en una expresión formal que fuerza la toma de valores fuera de su dominio de convergencia. Por ejemplo, podríamos comenzar con la serie ordinaria

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$

La expresión de la izquierda es válida en todo el plano complejo , mientras que el lado derecho converge solo para . Multiplicar e integrar ambos lados da como resultado${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$

La integral del lado izquierdo se puede expresar en términos de la integral exponencial . La integral del lado derecho, después de la sustitución , puede reconocerse como función gamma . Evaluando ambos, se obtiene la expansión asintótica${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$

Aquí, el lado derecho claramente no es convergente para ningún valor distinto de cero de t . Sin embargo, manteniendo t pequeño y truncando la serie de la derecha a un número finito de términos, se puede obtener una aproximación bastante buena al valor de . Sustituir y señalar que da como resultado la expansión asintótica dada anteriormente en este artículo.${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$${\displaystyle x=-1/t}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Distribución asintótica

Artículo principal: distribución asintótica

En estadística matemática , una distribución asintótica es una distribución hipotética que, en cierto sentido, es la distribución "limitante" de una secuencia de distribuciones. Una distribución es un conjunto ordenado de variables aleatorias Z _i para i = 1, ..., n , para algún entero positivo n . Una distribución asintótica permite que i varíe sin límite, es decir, n es infinito.

Un caso especial de distribución asintótica es cuando las entradas tardías van a cero, es decir, Z _i va a 0 cuando i va al infinito. Algunos casos de "distribución asintótica" se refieren únicamente a este caso especial.

Esto se basa en la noción de una función asintótica que se acerca limpiamente a un valor constante (la asíntota ) cuando la variable independiente llega al infinito; "limpio" en este sentido significa que para cualquier proximidad épsilon deseada hay algún valor de la variable independiente después del cual la función nunca difiere de la constante en más de épsilon.

Una asíntota es una línea recta a la que se acerca una curva, pero nunca se encuentra o cruza. De manera informal, se puede hablar de la curva que se encuentra con la asíntota "en el infinito", aunque esta no es una definición precisa. En la ecuación, y se vuelve arbitrariamente pequeño en magnitud a medida que x aumenta.${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

Aplicaciones

El análisis asintótico se utiliza en varias ciencias matemáticas . En estadística , la teoría asintótica proporciona aproximaciones limitantes de la distribución de probabilidad de las estadísticas de la muestra , como la estadística de razón de verosimilitud y el valor esperado de la desviación . Sin embargo, la teoría asintótica no proporciona un método para evaluar las distribuciones de muestras finitas de las estadísticas muestrales. Los límites no asintóticos se proporcionan mediante métodos de teoría de aproximación .

Los siguientes son ejemplos de aplicaciones.

• En matemáticas aplicadas , el análisis asintótico se usa para construir métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones .
• En estadística matemática y teoría de la probabilidad , las asintóticas se utilizan en el análisis del comportamiento a largo plazo o de muestras grandes de variables aleatorias y estimadores.
• en informática en el análisis de algoritmos , considerando el desempeño de los algoritmos.
• el comportamiento de los sistemas físicos , un ejemplo es la mecánica estadística .
• en el análisis de accidentes al identificar la causa de un accidente a través del modelado de conteo con un gran número de conteos de choques en un tiempo y espacio determinados.

Análisis asintótico es una herramienta clave para la exploración de las ordinarias y parciales ecuaciones diferenciales que se producen en el modelado matemático de los fenómenos del mundo real. ^[3] Un ejemplo ilustrativo es la derivación de las ecuaciones de la capa límite a partir de las ecuaciones completas de Navier-Stokes que gobiernan el flujo de fluidos. En muchos casos, la expansión asintótica está en poder de un pequeño parámetro, ε : en el caso de la capa límite, esta es la relación adimensional entre el espesor de la capa límite y una escala de longitud típica del problema. De hecho, las aplicaciones del análisis asintótico en modelos matemáticos a menudo ^[3] centrarse alrededor de un parámetro adimensional que se ha demostrado, o asumido, que es pequeño a través de una consideración de las escalas del problema en cuestión.

Expansiones asintóticas típicamente surgen en la aproximación de ciertas integrales ( método de Laplace , método de punto de silla , método de descenso más agudo ) o en la aproximación de las distribuciones de probabilidad ( serie Edgeworth ). Los gráficos de Feynman en la teoría cuántica de campos son otro ejemplo de expansiones asintóticas que a menudo no convergen.

Ver también

• Asíntota
• Complejidad computacional asintótica
• Densidad asintótica (en teoría de números)
• Teoría asintótica (estadística)
• Asintotología
• Notación Big O
• Término de primer orden
• Método de equilibrio dominante (para EDO)
• Método de expansiones asintóticas emparejadas
• Lema de Watson

Notas

1. "Igualdad asintótica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. Estrada y Kanwal (2002 , §1.2)
3. Howison, S. (2005), Matemáticas aplicadas prácticas , Cambridge University Press

Referencias

• Balser, W. (1994), De las series de potencia divergente a las funciones analíticas , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn, NG (1981), Métodos asintóticos de análisis , Publicaciones de Dover , ISBN 9780486642215
• Estrada, R .; Kanwal, RP (2002), Un enfoque distributivo de la asintótica , Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• Miller, PD (2006), Análisis asintótico aplicado , American Mathematical Society , ISBN 9780821840788
• Murray, JD (1984), Análisis asintótico , Springer, ISBN 9781461211228
• París, RB; Kaminsky, D. (2001), Asintóticos y Integrales de Mellin-Barnes , Cambridge University Press

Enlaces externos

• Análisis asintótico:  página de inicio de la revista, publicada por IOS Press.
• Un artículo sobre el análisis de series de tiempo utilizando distribución asintótica