En matemáticas , el método de Laplace , llamado así por Pierre-Simon Laplace , es una técnica utilizada para aproximar integrales de la forma
dónde es un dos veces, diferenciable función , M es un número grande, y los puntos finales a y b podría ser infinita. Esta técnica se presentó originalmente en Laplace (1774) .
La idea del método de Laplace
Supongamos que la función tiene un máximo global único en x 0 . Sea M una constante y considere las siguientes dos funciones:
Tenga en cuenta que x 0 será el máximo global de y también. Ahora observe:
A medida que M aumenta, la relación para crecerá exponencialmente, mientras que la relación para no cambia. Por lo tanto, las contribuciones significativas a la integral de esta función vendrán solo de los puntos x en una vecindad de x 0 , que luego se puede estimar.
Teoría general del método de Laplace
Para enunciar y motivar el método, necesitamos varios supuestos. Supondremos que x 0 no es un punto final del intervalo de integración, que los valores no puede estar muy cerca de a menos que x esté cerca de x 0 , y que
Podemos expandirnos alrededor de x 0 por el teorema de Taylor ,
dónde (ver: notación O grande ).
Desde tiene un máximo global en x 0 , y dado que x 0 no es un punto final, es un punto estacionario , por lo que la derivada dedesaparece en x 0 . Por tanto, la función puede aproximarse al orden cuadrático
para x cerca de x 0 (recordar). Los supuestos garantizan la precisión de la aproximación
(vea la imagen de la derecha). Esta última integral es una integral gaussiana si los límites de integración van de −∞ a + ∞ (lo que se puede suponer porque la exponencial decae muy rápidamente alejándose de x 0 ) y, por lo tanto, se puede calcular. Encontramos
Fog (2008) proporciona una generalización de este método y una extensión a precisión arbitraria .
Declaración formal y prueba
Suponer es una función dos veces continuamente diferenciable en y existe un punto único tal que:
Luego:
Límite inferior: Let. Desde es continuo existe tal que si luego Según el teorema de Taylor , para cualquier
Entonces tenemos el siguiente límite inferior:
donde la última igualdad se obtuvo mediante un cambio de variables
Recuerda entonces podemos sacar la raíz cuadrada de su negación.
Si dividimos ambos lados de la desigualdad anterior por
y toma el límite que obtenemos:
ya que esto es cierto para arbitrario obtenemos el límite inferior:
Tenga en cuenta que esta prueba también funciona cuando o (o ambos).
Límite superior: la prueba es similar a la del límite inferior, pero hay algunos inconvenientes. Nuevamente, comenzamos eligiendo un pero para que la prueba funcione necesitamos lo suficientemente pequeño para que Entonces, como arriba, por la continuidad de y el teorema de Taylor podemos encontrar para que si , luego
Por último, según nuestras suposiciones (asumiendo son finitos) existe un tal que si , luego .
Entonces podemos calcular el siguiente límite superior:
Si dividimos ambos lados de la desigualdad anterior por
y toma el límite que obtenemos:
Desde es arbitrario obtenemos el límite superior:
Y combinar esto con el límite inferior da el resultado.
Tenga en cuenta que la prueba anterior obviamente falla cuando o (o ambos). Para hacer frente a estos casos, necesitamos algunas suposiciones adicionales. Una suposición suficiente (no necesaria) es que para
y que el numero como existe anteriormente (tenga en cuenta que esto debe ser una suposición en el caso en que el intervalo es infinito). La demostración procede de otra manera como arriba, pero con una aproximación de integrales ligeramente diferente:
Cuando dividimos por
obtenemos por este término
cuyo límite como es . El resto de la prueba (el análisis del término interesante) procede como antes.
La condición dada en el caso de intervalo infinito es, como se dijo anteriormente, suficiente pero no necesaria. Sin embargo, la condición se cumple en muchas aplicaciones, si no en la mayoría: la condición simplemente dice que la integral que estamos estudiando debe estar bien definida (no infinita) y que el máximo de la función en debe ser un máximo "verdadero" (el número debe existir). No es necesario exigir que la integral sea finita para pero basta con exigir que la integral sea finita para algunos
Este método se basa en 4 conceptos básicos como
- 1. Error relativo
La "aproximación" en este método está relacionada con el error relativo y no con el error absoluto . Por lo tanto, si establecemos
la integral se puede escribir como
dónde es un número pequeño cuando es un número grande obviamente y el error relativo será
Ahora, separemos esta integral en dos partes: región y el resto.
- 2. alrededor del punto estacionario cuando es lo suficientemente grande
Veamos la expansión de Taylor detodo x 0 y traducir X a Y porque hacemos la comparación en y en el espacio, obtendremos
Tenga en cuenta que porque es un punto estacionario. A partir de esta ecuación, encontrará que los términos superiores a la segunda derivada en esta expansión de Taylor se suprimen como el orden de así que eso se acercará más a la función gaussiana como se muestra en la figura. Además,
- 3. El más grande es, el rango más pequeño de está relacionado
Debido a que hacemos la comparación en el espacio y, se fija en que causará ; sin emabargo, es inversamente proporcional a , la región elegida de será más pequeño cuando está incrementado.
- 4. Si la integral en el método de Laplace converge, la contribución de la región que no está alrededor del punto estacionario de la integración de su error relativo tenderá a cero cuando crece.
Confiando en el tercer concepto, incluso si elegimos un D y muy grande , sD y finalmente será un número muy pequeño cuandoaumenta a un número enorme. Entonces, ¿cómo podemos garantizar que la integral del resto tenderá a 0 cuando es lo suficientemente grande?
La idea básica es encontrar una función tal que y la integral de tenderá a cero cuando crece. Porque la función exponencial de será siempre mayor que cero siempre que es un número real, y esta función exponencial es proporcional a la integral de tenderá a cero. Por simplicidad, elijacomo una tangente a través del punto como se muestra en la figura:
Si el intervalo de la integración de este método es finito, encontraremos que no importa continúa en la región de descanso, siempre será menor que se muestra arriba cuando es lo suficientemente grande. Por cierto, se demostrará más adelante que la integral de tenderá a cero cuando es lo suficientemente grande.
Si el intervalo de la integración de este método es infinito, y siempre pueden cruzarse entre sí. Si es así, no podemos garantizar que la integral detenderá a cero finalmente. Por ejemplo, en el caso de siempre divergerá. Por lo tanto, necesitamos exigir quepuede converger para el caso de intervalo infinito. Si es así, esta integral tenderá a cero cuando es lo suficientemente grande y podemos elegir esto como la cruz de y
Podrías preguntar por qué no elegir como integral convergente? Permítanme usar un ejemplo para mostrarles la razón. Supongamos que el resto de es luego y su integral divergerá; sin embargo cuando la integral de converge. Entonces, la integral de algunas funciones divergerá cuando no es un gran número, pero convergerán cuando es lo suficientemente grande.
Con base en estos cuatro conceptos, podemos derivar el error relativo de este método de Laplace.
Otras formulaciones
La aproximación de Laplace se escribe a veces como
dónde es positivo.
Es importante destacar que la precisión de la aproximación depende de la variable de integración, es decir, de lo que permanece en y lo que entra . [1]
Primer uso para denotar el máximo global, lo que simplificará esta derivación. Estamos interesados en el error relativo, escrito como,
dónde
Entonces, si dejamos
y , podemos obtener
desde .
Para el límite superior, tenga en cuenta que así podemos separar esta integración en 5 partes con 3 tipos diferentes (a), (b) y (c), respectivamente. Por lo tanto,
dónde y son similares, calculemos y y son similares también, solo calcularé .
Para , después de la traducción de , podemos obtener
Esto significa que mientras es lo suficientemente grande, tenderá a cero.
Para , podemos obtener
dónde
y debería tener el mismo signo de durante esta región. Vamos a elegir como la tangente a través del punto en , es decir que se muestra en la figura
De esta figura puede encontrar que cuando o se vuelve más pequeña, la región satisface la desigualdad anterior se hará más grande. Por tanto, si queremos encontrar un para cubrir el todo durante el intervalo de , tendrá un límite superior. Además, porque la integración de es simple, permítame usarlo para estimar el error relativo contribuido por este .
Basado en la expansión de Taylor, podemos obtener
y
y luego reemplácelos en el cálculo de ; sin embargo, puede encontrar que los restos de estas dos expansiones son inversamente proporcionales a la raíz cuadrada de, déjame descartarlos para embellecer el cálculo. Mantenerlos es mejor, pero hará que la fórmula sea más fea.
Por lo tanto, tenderá a cero cuando se hace más grande, pero no olvide que el límite superior de debe tenerse en cuenta durante este cálculo.
Sobre la integración cerca , también podemos usar el teorema de Taylor para calcularlo. Cuándo
y puedes encontrar que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de . De echo, tendrá el mismo comportamiento cuando es una constante.
En conclusión, la integral cerca del punto estacionario se hará más pequeña a medida que se hace más grande, y las partes restantes tenderán a cero siempre que es lo suficientemente grande; sin embargo, debemos recordar que tiene un límite superior que se decide en función de si la función es siempre más grande que en la región de descanso. Sin embargo, siempre que podamos encontrar uno satisfaciendo esta condición, el límite superior de puede elegirse como directamente proporcional a desde es una tangente a través del punto de a . Entonces, cuanto más grande es, el mas grande puede ser.
En el caso multivariado donde es un -vector dimensional y es una función escalar de , La aproximación de Laplace generalmente se escribe como:
dónde es la matriz de Hesse de evaluado en y donde denota determinante de matriz . De manera análoga al caso univariado, se requiere que el hessiano sea definido negativo . [2]
Por cierto, aunque denota un -vector dimensional, el término denota un volumen infinitesimal aquí, es decir.
Extensión del método de Laplace: descenso más empinado
En extensiones del método de Laplace, el análisis complejo , y en particular la fórmula integral de Cauchy , se usa para encontrar un contorno de descenso más pronunciado para una integral equivalente (asintóticamente con M grande ), expresada como una integral de línea . En particular, si ningún punto x 0 donde la derivada dedesaparece existe en la línea real, puede ser necesario deformar el contorno de integración a uno óptimo, donde el análisis anterior será posible. Nuevamente, la idea principal es reducir, al menos asintóticamente, el cálculo de la integral dada al de una integral más simple que pueda evaluarse explícitamente. Ver el libro de Erdelyi (1956) para una discusión simple (donde el método se denomina descensos más empinados ).
La formulación apropiada para el plano z complejo es
para un camino que pasa por el punto de silla en z 0 . Tenga en cuenta la aparición explícita de un signo menos para indicar la dirección de la segunda derivada: no se debe tomar el módulo. También tenga en cuenta que si el integrando es meromórfico , uno puede tener que agregar residuos correspondientes a los polos atravesados mientras se deforma el contorno (ver, por ejemplo, la sección 3 del artículo de Okounkov Funciones simétricas y particiones aleatorias ).
Más generalizaciones
Una extensión del método de descenso más empinado es el llamado método de fase estacionaria no lineal / descenso más empinado . Aquí, en lugar de integrales, es necesario evaluar asintóticamente las soluciones de los problemas de factorización de Riemann-Hilbert .
Dado un contorno C en la esfera compleja , una funcióndefinido en ese contorno y un punto especial, digamos infinito, se busca una función M holomórfica alejada del contorno C , con salto prescrito a través de C , y con una normalización dada en el infinito. Siy por lo tanto M son matrices en lugar de escalares, este es un problema que en general no admite una solución explícita.
Entonces es posible una evaluación asintótica a lo largo de las líneas del método de fase estacionaria lineal / descenso más pronunciado. La idea es reducir asintóticamente la solución del problema de Riemann-Hilbert dado a la de un problema de Riemann-Hilbert más simple y explícitamente resuelto. El teorema de Cauchy se utiliza para justificar las deformaciones del contorno del salto.
La fase estacionaria no lineal fue introducida por Deift y Zhou en 1993, basándose en un trabajo anterior de Its. Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller introdujeron un método de descenso más empinado no lineal (hablando con propiedad) en 2003, basado en trabajos anteriores de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou. Como en el caso lineal, los "contornos de descenso más empinados" resuelven un problema mínimo-máximo. En el caso no lineal, resultan ser "curvas en S" (definidas en un contexto diferente en los años 80 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov).
El método de fase estacionaria no lineal / descenso más empinado tiene aplicaciones a la teoría de ecuaciones de solitones y modelos integrables , matrices aleatorias y combinatoria .
Generalización del método de Laplace: aproximación del punto mediano
En la generalización, la evaluación de la integral se considera equivalente a encontrar la norma de la distribución con densidad
Denotando la distribución acumulativa , si hay una distribución gaussiana difeomórfica con densidad
la norma viene dada por
y el difeomorfismo correspondiente es
dónde denota una función de distribución normal estándar acumulativa .
En general, cualquier distribución difeomórfica a la distribución gaussiana tiene densidad
y la mediana -point se asigna a la mediana de la distribución gaussiana. Al hacer coincidir el logaritmo de las funciones de densidad y sus derivadas en el punto medio hasta un orden dado, se obtiene un sistema de ecuaciones que determinan los valores aproximados de y .
La aproximación fue introducida en 2019 por D. Makogon y C. Morais Smith principalmente en el contexto de la evaluación de la función de partición para un sistema de fermiones que interactúan.
Integrales complejas
Para integrales complejas en la forma:
con hacemos la sustitución t = iu y el cambio de variable para obtener la transformada bilateral de Laplace:
Luego dividimos g ( c + ix ) en su parte real y compleja, después de lo cual recuperamos u = t / i . Esto es útil para las transformadas inversas de Laplace , la fórmula de Perron y la integración compleja.
Ejemplo: aproximación de Stirling
El método de Laplace se puede utilizar para derivar la aproximación de Stirling
para un gran número entero N .
De la definición de la función Gamma , tenemos
Ahora cambiamos las variables, dejando así que eso Vuelva a conectar estos valores para obtener
Esta integral tiene la forma necesaria para el método de Laplace con
que es dos veces diferenciable:
El máximo de se encuentra en z 0 = 1, y la segunda derivada detiene el valor -1 en este punto. Por tanto, obtenemos
Ver también
- Método de fase estacionaria
- Método de descenso más empinado
- Teoría de las grandes desviaciones
- Principio de Laplace (teoría de las grandes desviaciones)
Notas
- ^ Mayordomo, Ronald W (2007). Aproximaciones y aplicaciones del punto de silla . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-87250-8.
- ^ MacKay, David JC (septiembre de 2003). Teoría de la información, Inferencia y Algoritmos de aprendizaje . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521642989.
Referencias
- Azevedo-Filho, A .; Shachter, R. (1994), "Aproximaciones del método de Laplace para la inferencia probabilística en redes de creencias con variables continuas", en Mantaras, R .; Poole, D. (eds.), Incertidumbre en la inteligencia artificial , San Francisco, CA: Morgan Kaufmann , CiteSeerX 10.1.1.91.2064.
- Deift, P .; Zhou, X. (1993), "Un método de descenso más pronunciado para problemas oscilatorios de Riemann-Hilbert. Asintóticos para la ecuación MKdV", Ann. de Matemáticas. , 137 (2), págs. 295–368, arXiv : math / 9201261 , doi : 10.2307 / 2946540 , JSTOR 2946540.
- Erdelyi, A. (1956), Expansiones asintóticas , Dover.
- Fog, A. (2008), "Métodos de cálculo para la distribución hipergeométrica no central de Wallenius", Comunicaciones en estadística, simulación y computación , 37 (2), pp. 258-273, doi : 10.1080 / 03610910701790269.
- Laplace, PS (1774), "Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième" [Memoria sobre la probabilidad de causas de eventos.], Ciencia estadística , 1 (3): 366–367, JSTOR 2245476
- Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2007). "Análogos discretos de la aproximación de Laplace". Asymptot. Anal . 54 (3–4): 165–180.
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