Expansión en serie infinita de funciones trigonométricas de Ming Antu
Expansión en serie infinita de funciones trigonométricas de Ming Antu . Ming Antu , un matemático de la corte de la dinastía Qing, realizó un extenso trabajo sobre la expansión de series infinitas de funciones trigonométricas en su obra maestra Geyuan Milü Jiefa (Método rápido para diseccionar el círculo y determinación de la proporción precisa del círculo) . Ming Antu construyó modelos geométricos basados en un arco mayor de un círculo y la n-ésima disección del arco mayor. En la Fig. 1, AE es la cuerda mayor del arco ABCDE , y AB , BC , CD , DE son sus n-ésimos segmentos iguales. si acordeAE = y , cuerda AB = BC = CD = DE = x , la tarea era encontrar la cuerda y como la expansión en serie infinita de la cuerda x . Estudió los casos de n = 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 y 10000 con gran detalle en los volúmenes 3 y 4 de Geyuan Milü Jiefa .
En 1701, el misionero jesuita francés Pierre Jartoux (1669-1720) llegó a China y trajo consigo tres expansiones en series infinitas de funciones trigonométricas de Isaac Newton y J. Gregory: [1]
Estas series infinitas despertaron un gran interés entre los matemáticos chinos, ya que el cálculo de π con estos "métodos rápidos" involucraba solo multiplicaciones, sumas o restas, siendo mucho más rápido que el clásico algoritmo π de Liu Hui que implica sacar raíces cuadradas. Sin embargo, Jartoux no trajo consigo el método para derivar estas series infinitas. Ming Antu sospechaba que los europeos no querían compartir sus secretos y, por lo tanto, se puso a trabajar en ello. Trabajó intermitentemente durante treinta años y completó un manuscrito llamado Geyuan Milü Jiefa.. Creó modelos geométricos para obtener series infinitas trigonométricas, y no solo encontró el método para derivar las tres series infinitas anteriores, sino que también descubrió otras seis series infinitas. En el proceso, descubrió y aplicó los números catalanes .
La Figura 2 es el modelo de Ming Antu de un acorde de 2 segmentos. El arco BCD es parte de un círculo con radio unitario ( r = 1 ). AD es la cuerda principal, el arco BCD se biseca en C , dibuje las líneas BC, CD, sea BC = CD = x y sea el radio AC = 1.
Aparentemente, [2]
Sean EJ = EF, FK = FJ; extienda BE directamente a L, y sea EL = BE; hacer BF = BE, por lo que F está en línea con AE. BF extendido a M, sea BF = MF; conecta LM, LM aparentemente pasa por el punto C. El triángulo invertido BLM a lo largo del eje BM en el triángulo BMN, tal que C coincide con G, y el punto L coincide con el punto N. El triángulo invertido NGB a lo largo del eje BN en el triángulo; aparentemente BI = BC.
