En matemática combinatoria , los números catalanes forman una secuencia de números naturales que ocurren en varios problemas de conteo , a menudo involucrando objetos definidos de manera recursiva . Llevan el nombre del matemático belga Eugène Charles Catalan (1814-1894).
El n- ésimo número catalán viene dado directamente en términos de coeficientes binomiales por
Los primeros números catalanes para n = 0, 1, 2, 3, ... son
Propiedades
Una expresión alternativa para C n es
que es equivalente a la expresión dada arriba porque . Esto muestra que C n es un número entero , lo que no es inmediatamente obvio a partir de la primera fórmula dada. Esta expresión forma la base para una prueba de la exactitud de la fórmula .
Los números catalanes satisfacen las relaciones de recurrencia [1]
y
Asintóticamente, los números catalanes crecen a medida que
en el sentido de que el cociente de la n º número catalán y la expresión de la derecha tiende hacia 1 como n tiende a infinito. Esto se puede demostrar utilizando la aproximación de Stirling para n ! o mediante funciones generadoras .
Los únicos números catalanes C n que son impares son aquellos para los que n = 2 k - 1; todos los demás son parejos. Los únicos números primos en catalán son C 2 = 2 y C 3 = 5. [2]
Los números catalanes tienen una representación integral
dónde Esto significa que los números catalanes son una solución de una versión del problema del momento de Hausdorff . [3]
Aplicaciones en combinatoria
Son muchos los problemas de conteo en combinatoria cuya solución viene dada por los números catalanes. El libro Combinatoria Enumerativa: Volumen 2 del combinatorio Richard P. Stanley contiene un conjunto de ejercicios que describen 66 interpretaciones diferentes de los números catalanes. A continuación se muestran algunos ejemplos, con ilustraciones de los casos C 3 = 5 y C 4 = 14.
- C n es el número de palabras Dyck [4] de longitud 2 n . Una palabra Dyck es una cadena que consta de n X y n Y de tal manera que ningún segmento inicial de la cadena tiene más Y que X. Por ejemplo, las siguientes son las palabras de Dyck de longitud 6:
- Reinterpretando el símbolo X como un paréntesis abierto e Y como un paréntesis cerrado, C n cuenta el número de expresiones que contienen n pares de paréntesis que coinciden correctamente:
- C n es el número de formas diferentes en que n + 1 factores pueden estar completamente entre paréntesis (o el número de formas de asociar n aplicaciones de un operador binario , como en el problema de multiplicación de cadenas de matrices ). Para n = 3, por ejemplo, tenemos los siguientes cinco paréntesis diferentes de cuatro factores:
- Las aplicaciones sucesivas de un operador binario se pueden representar en términos de un árbol binario completo . (Un árbol binario enraizado está lleno si cada vértice tiene dos hijos o ningún hijo). De ello se deduce que C n es el número de árboles binarios completos con n + 1 hojas:
- C n es el número de árboles ordenados (o planos) no isomórficos con n + 1 vértices. [5]
- C n es el número de trayectorias de celosía monótona a lo largo de los bordes de una cuadrícula con n × n celdas cuadradas, que no pasan por encima de la diagonal. Un camino monótono es aquel que comienza en la esquina inferior izquierda, termina en la esquina superior derecha y consta completamente de bordes que apuntan hacia la derecha o hacia arriba. Contar esos caminos equivale a contar palabras de Dyck: X significa "mover a la derecha" e Y significa "mover hacia arriba".
Los siguientes diagramas muestran el caso n = 4:
Esto se puede representar de manera sucinta enumerando los elementos catalanes por altura de columna: [6]
- Un polígono convexo con n + 2 lados se puede cortar en triángulos conectando vértices con segmentos de línea que no se crucen (una forma de triangulación poligonal ). El número de triángulos formados es n y el número de diferentes formas en que esto se puede lograr es C n . Los siguientes hexágonos ilustran el caso n = 4:
- C n es el número de permutaciones clasificables en pila de {1, ..., n }. Una permutación w se denomina ordenable en pila si S ( w ) = (1, ..., n ), donde S ( w ) se define recursivamente de la siguiente manera: escriba w = unv donde n es el elemento más grande en w y u y v son secuencias más cortas y el conjunto S ( w ) = S ( u ) S ( v ) n , siendo S la identidad de las secuencias de un elemento.
- C n es el número de permutaciones de {1, ..., n } que evitan el patrón de permutación 123 (o, alternativamente, cualquiera de los otros patrones de longitud 3); es decir, el número de permutaciones sin subsecuencia creciente de tres términos. Para n = 3, estas permutaciones son 132, 213, 231, 312 y 321. Para n = 4, son 1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312 y 4321.
- C n es el número de particiones no cruzadas del conjunto {1, ..., n }. A fortiori , C n nunca excede el número n de Bell . C n es también el número de particiones no cruzadas del conjunto {1, ..., 2 n } en el que cada bloque es de tamaño 2. La conjunción de estos dos hechos puede usarse en una demostración por inducción matemática de que todos los los acumuladores libres de grado superior a 2 de la ley del semicírculo de Wigner son cero. Esta ley es importante en la teoría de la probabilidad libre y la teoría de matrices aleatorias .
- C n es el número de formas de colocar en mosaico una forma de escalón de altura n con n rectángulos. La siguiente figura ilustra el caso n = 4:
- C n es el número de formas de formar una "cordillera" con n trazos ascendentes y n descendentes que permanecen por encima de una línea horizontal. La interpretación de la cordillera es que las montañas nunca pasarán por debajo del horizonte.
- C n es el número de cuadros de Young estándar cuyo diagrama es un rectángulo de 2 por n . En otras palabras, es el número de formas en que los números 1, 2, ..., 2 n se pueden organizar en un rectángulo de 2 por n de modo que cada fila y cada columna aumentan. Como tal, la fórmula se puede derivar como un caso especial de la fórmula de la longitud del gancho .
- C n es el número de formas en que los vértices de un 2 n -gon convexo se pueden emparejar para que los segmentos de línea que unen los vértices emparejados no se crucen. Esta es precisamente la condición que garantiza que los bordes emparejados se puedan identificar (coser juntos) para formar una superficie cerrada de género cero (una 2-esfera topológica).
- C n es el número de semiordenes en n elementos sin etiquetar. [7]
- En ingeniería química, C n -1 es el número de posibles secuencias de separación que pueden separar una mezcla de n componentes. [8]
Prueba de la fórmula
Hay varias formas de explicar por qué la fórmula
resuelve los problemas combinatorios enumerados anteriormente. La primera prueba a continuación usa una función generadora . Las otras pruebas son ejemplos de pruebas biyectivas ; implican contar literalmente una colección de algún tipo de objeto para llegar a la fórmula correcta.
Primera prueba
Primero observamos que todos los problemas combinatorios enumerados anteriormente satisfacen la relación de recurrencia de Segner [9]
Por ejemplo, cada palabra de Dyck w de longitud ≥ 2 se puede escribir de una manera única en la forma
- w = X w 1 Y w 2
con palabras Dyck (posiblemente vacías) w 1 y w 2 .
La función generadora de los números catalanes está definida por
La relación de recurrencia dada anteriormente se puede resumir en forma de función generadora mediante la relación
en otras palabras, esta ecuación se deriva de la relación de recurrencia al expandir ambos lados en series de potencias. Por un lado, la relación de recurrencia determina unívocamente los números catalanes; Por otro lado, la relación de la función generadora se puede resolver algebraicamente para producir
Al elegir el signo menos (en la primera expresión), la fracción tiene una serie de potencias a 0, por lo que sus coeficientes deben ser los números catalanes. Esta solución satisface
La otra solución, con el signo más, tiene un polo en 0, por lo que no puede ser una solución válida para c ( x ).
El término de raíz cuadrada se puede expandir como una serie de potencias usando la identidad
Este es un caso especial del teorema binomial generalizado de Newton ; al igual que con el teorema general, se puede demostrar calculando derivadas para producir su serie de Taylor. Estableciendo y = −4 x y sustituyendo esta serie de potencias en la expresión de c ( x ) y cambiando el índice de suma n en 1, la expansión se simplifica a
Los coeficientes son ahora la fórmula deseada para C n .
Otra forma de obtener c ( x ) es resolver para xc ( x ) y observar que aparece en cada término de la serie de potencias.
Segunda prueba
Esta demostración depende de un truco conocido como método de reflexión de André , que se utilizó originalmente en relación con el teorema de la balota de Bertrand . (El principio de reflexión se ha atribuido ampliamente a Désiré André , pero su método en realidad no utiliza reflejos; y el método de reflexión es una variación debida a Aebly y Mirimanoff. [10] ) Contamos los caminos que comienzan y terminan en la diagonal de la cuadrícula n × n . Todos estos caminos tienen n pasos hacia la derecha y n hacia arriba. Dado que podemos elegir cuál de los 2 n pasos son hacia arriba (o, de manera equivalente, hacia la derecha), haycaminos monótonos totales de este tipo. Un mal camino cruzará la diagonal principal y tocará la siguiente diagonal más alta ( fatal ) (representada en rojo en la ilustración). Volteamos la parte del camino que ocurre después de ese toque sobre esa diagonal fatal, como se ilustra; esta operación geométrica equivale a intercambiar todos los pasos hacia la derecha y hacia arriba después de ese toque. En la sección del camino que no se refleja, hay un paso más hacia arriba que hacia la derecha, por lo que la sección restante del camino malo tiene un paso más hacia la derecha que hacia arriba (porque termina en la diagonal principal). Cuando esta parte del camino se refleja, también tendrá un paso más hacia arriba que hacia la derecha. Dado que todavía hay 2 n pasos, ahora debe haber n + 1 pasos hacia arriba y n - 1 pasos hacia la derecha. Entonces, en lugar de alcanzar el objetivo ( n , n ), todas las rutas incorrectas (después de que se refleja la parte de la ruta) terminarán en la ubicación ( n - 1, n + 1). Como cualquier camino monótono en la cuadrícula ( n - 1) × ( n + 1) debe encontrarse con la diagonal fatal, este proceso de reflexión establece una biyección entre los caminos malos de la cuadrícula original y los caminos monótonos de esta nueva cuadrícula porque la reflexión El proceso es reversible. Por tanto, el número de malos caminos es,
y el número de caminos catalanes (es decir, buenos caminos) se obtiene eliminando el número de caminos malos del número total de caminos monótonos de la cuadrícula original,
En términos de palabras de Dyck, comenzamos con una secuencia (no Dyck) de n X y n Y e intercambiamos todas las X e Y después de la primera Y que viola la condición de Dyck. En ese primer Y, hay k + 1 Y y k X para algunos k entre 1 y n - 1.
Tercera prueba
La siguiente prueba biyectiva, aunque es más complicada que la anterior, proporciona una explicación más natural para el término n + 1 que aparece en el denominador de la fórmula para C n . Una versión generalizada de esta prueba se puede encontrar en un artículo de Rukavicka Josef (2011). [11]
Supongamos que se nos da un camino monótono, que puede cruzar la diagonal. La superación de la trayectoria se define como el número de bordes verticales que se encuentran por encima de la diagonal. Por ejemplo, en la Figura 2, los bordes que se encuentran por encima de la diagonal están marcados en rojo, por lo que la superación del camino es 5.
Ahora, si se nos da una ruta monótona cuya excedencia no es cero, entonces podemos aplicar el siguiente algoritmo para construir una nueva ruta cuya excedencia sea una menos que la que comenzamos.
- Comenzando desde la parte inferior izquierda, siga el camino hasta que primero viaje por encima de la diagonal.
- Continúe siguiendo el camino hasta que toque la diagonal nuevamente. Denote con X el primer borde que se alcanza.
- Intercambiar la porción de la trayectoria que ocurre antes de X con la porción que ocurre después de X .
El siguiente ejemplo debería aclarar esto. En la Figura 3, el punto negro indica el punto donde el camino cruza por primera vez la diagonal. El borde negro es X , y cambiamos la parte roja con la parte verde para hacer una nueva ruta, que se muestra en el segundo diagrama.
La superación se ha reducido de tres a dos. De hecho, el algoritmo hará que la excedencia disminuya en uno, para cualquier camino que lo alimentemos, porque el primer paso vertical que comienza en la diagonal (en el punto marcado con un punto negro) es el único borde vertical que está debajo de la operación. pasa de arriba de la diagonal a debajo de ella; todos los demás bordes verticales permanecen en el mismo lado de la diagonal.
Tampoco es difícil ver que este proceso es reversible : dado cualquier camino P cuya excedencia es menor que n , hay exactamente un camino que produce P cuando se le aplica el algoritmo. De hecho, el borde (negro) X , que originalmente era el primer paso horizontal que termina en la diagonal, se ha convertido en el último paso horizontal que comienza en la diagonal.
Esto implica que el número de caminos de excedencia n es igual al número de caminos de excedencia n - 1, que es igual al número de caminos de excedencia n - 2, y así sucesivamente, hasta cero. En otras palabras, hemos dividido el conjunto de todos los caminos monótonos en n + 1 clases de igual tamaño, correspondientes a las posibles excedencias entre 0 y n . Puesto que hay
caminos monotónicos, obtenemos la fórmula deseada
La Figura 4 ilustra la situación para n = 3. Cada uno de los 20 posibles caminos monótonos aparece en algún lugar de la tabla. La primera columna muestra todas las trayectorias de superación tres, que se encuentran completamente por encima de la diagonal. Las columnas de la derecha muestran el resultado de sucesivas aplicaciones del algoritmo, con la superación disminuyendo una unidad a la vez. Hay cinco filas, es decir, C 3 = 5.
Cuarta prueba
Esta demostración utiliza la definición de triangulación de números catalanes para establecer una relación entre C n y C n +1 . Dado un polígono P con n + 2 lados, primero marque uno de sus lados como base. Si P se triangula entonces, podemos elegir y orientar aún más una de sus 2 n + 1 aristas. Hay (4 n + 2) C n tales triangulaciones decoradas. Ahora, dado un polígono Q con n + 3 lados, nuevamente marque uno de sus lados como base. Si Q está triangulado, podemos marcar más uno de los lados que no sea el lado de la base. Hay ( n + 2) C n + 1 de tales triangulaciones decoradas. Luego hay una simple biyección entre estos dos tipos de triangulaciones decoradas: podemos colapsar el triángulo en Q cuyo lado está marcado, o al revés expandir el borde orientado en P a un triángulo y marcar su nuevo lado. Por lo tanto
La fórmula binomial para C n se sigue inmediatamente de esta relación y la condición inicial C 1 = 1.
Quinta prueba
Esta prueba se basa en la interpretación de palabras de Dyck de los números catalanes, por lo que C n es el número de formas de hacer coincidir correctamente n pares de paréntesis. Denotamos una cadena correcta (posiblemente vacía) con cy su inverso (donde "[" y "]" se intercambian) con c + . Dado que cualquier c se puede descomponer de forma única en c = [ c 1 ] c 2 , la suma de los posibles puntos para colocar el corchete de cierre da inmediatamente la definición recursiva
Ahora supongamos que b representa una cadena balanceada de longitud 2 n , es decir, que contiene un número igual de "[" y "]" - ycon algún factor d n ≥ 1. Como se indicó anteriormente, cualquier cuerda balanceada se puede descomponer de forma única en [ c ] bo ] c + [ b , por lo que
Además, cualquier cadena equilibrada incorrecta comienza con c ], por lo que
Restando las ecuaciones anteriores y usando B i = d i C i da
La comparación de los coeficientes con la fórmula de recursión original para C n da d i = i + 1, por lo que
Sexta prueba
Esta sencilla demostración [12] también se basa en la interpretación de palabras de Dyck de los números catalanes, pero utiliza el hermoso ciclo Lema de Dvoretzky y Motzkin. [13] Llame a una secuencia de X e Y dominantes si, leyendo de izquierda a derecha, el desequilibrio es siempre positivo, es decir, el número de X es siempre estrictamente mayor que el número de Y. El ciclo lema afirma que cualquier secuencia de X y Y's, donde , tiene precisamente permutaciones cíclicas dominantes. Para ver esto, simplemente organice la secuencia dada de X e Y en un círculo y elimine repetidamente los pares adyacentes XY hasta que solo Las X permanecen. Cada una de estas X fue el comienzo de una permutación cíclica dominante antes de que se eliminara algo. En particular, cuando, hay exactamente una permutación cíclica dominante. Quitarle la X inicial (una secuencia dominante debe comenzar con X) deja una secuencia Dyck. Puesto que hay distintos ciclos de X y Y, cada uno de los cuales corresponde exactamente a una secuencia de Dyck, cuenta las secuencias de Dyck.
Matriz de Hankel
La matriz de Hankel n × n cuya entrada ( i , j ) es el número catalán C i + j −2 tiene determinante 1, independientemente del valor de n . Por ejemplo, para n = 4 tenemos
Además, si la indexación se "desplaza" de modo que la entrada ( i , j ) se rellene con el número catalán C i + j −1, entonces el determinante sigue siendo 1, independientemente del valor de n . Por ejemplo, para n = 4 tenemos
En conjunto, estas dos condiciones definen de forma única los números catalanes.
Historia
La secuencia catalana fue descrita en el siglo XVIII por Leonhard Euler , quien estaba interesado en la cantidad de formas diferentes de dividir un polígono en triángulos. La secuencia lleva el nombre de Eugène Charles Catalan , quien descubrió la conexión con las expresiones entre paréntesis durante su exploración del rompecabezas de las Torres de Hanoi . El truco para contar las palabras de Dyck fue descubierto por Désiré André en 1887.
En 1988, salió a la luz que la secuencia numérica catalana había sido utilizada en China por el matemático mongol Mingantu en 1730. [14] [15] Fue entonces cuando comenzó a escribir su libro Ge Yuan Mi Lu Jie Fa [The Quick Method para obtener la proporción precisa de división de un círculo] , que fue completado por su alumno Chen Jixin en 1774 pero publicado sesenta años después. Peter J. Larcombe (1999) esbozó algunas de las características de la obra de Mingantu, incluido el estímulo de Pierre Jartoux, quien trajo tres series infinitas a China a principios del siglo XVIII.
Por ejemplo, Ming usó la secuencia catalana para expresar expansiones en serie de sin (2α) y sin (4α) en términos de sin (α).
Generalizaciones
La secuencia de dos parámetros de enteros no negativos es una generalización de los números catalanes. Estos son los números super catalanes , de Ira Gessel . Este número no debe confundirse con los números de Schröder-Hipparchus , que a veces también se denominan números supercatanos.
Para , esto es solo dos veces los números catalanes ordinarios, y para , los números tienen una descripción combinatoria fácil. Sin embargo, solo se conocen otras descripciones combinatorias [16] para y , [17] y es un problema abierto encontrar una interpretación combinatoria general.
Sergey Fomin y Nathan Reading han dado un número catalán generalizado asociado a cualquier grupo de Coxeter cristalográfico finito , a saber, el número de elementos totalmente conmutativos del grupo; en términos del sistema de raíces asociado , es el número de anti-cadenas (o ideales de orden) en el conjunto de raíces positivas. El número catalán clásico corresponde al sistema raíz de tipo . La relación de recurrencia clásica se generaliza: el número catalán de un diagrama de Coxeter es igual a la suma de los números catalanes de todos sus subdiagramas propios máximos. [18]
Ver también
- Associahedron
- Teorema de la boleta de Bertrand
- Transformada binomial
- Triángulo catalán
- Número catalán-Mersenne
- Número Fuss – Catalán
- Lista de temas factoriales y binomiales
- Números de lobb
- Número de Narayana
- Número de Schröder – Hipparchus
- Celosía Tamari
- Número de Wedderburn – Etherington
Notas
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Referencias
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- Egecioglu, Omer (2009), A Catalan-Hankel Determinant Evaluation (PDF)
- Gheorghiciuc, Irina; Orelowitz, Gidon (2020), números súper catalanes de tercer y cuarto tipo , arXiv : 2008.00133
enlaces externos
- Stanley, Richard P. (1998), anexo catalán a la combinatoria enumerativa, volumen 2 (PDF)
- Weisstein, Eric W. "Número catalán" . MathWorld .
- Dickau, Robert M .: números catalanes Más ejemplos.
- Davis, Tom: números catalanes . Aún más ejemplos.
- "Equivalencia de tres interpretaciones numéricas catalanas" del Proyecto Wolfram Demonstrations [1]
- Materiales de aprendizaje relacionados con triángulos numéricos relacionados con particiones en Wikiversity