En matemáticas , una expansión en serie es un método para calcular una función que no se puede expresar solo con operadores elementales (suma, resta, multiplicación y división).
La llamada serie resultante a menudo se puede limitar a un número finito de términos, lo que produce una aproximación de la función. Cuantos menos términos de la secuencia se utilicen, más simple será esta aproximación. A menudo, la inexactitud resultante (es decir, la suma parcial de los términos omitidos) se puede describir mediante una ecuación que involucra notación Big O (ver también expansión asintótica ). La expansión de la serie en un intervalo abierto también será una aproximación para funciones no analíticas .
Hay varios tipos de expansiones de series, como:
- Serie de Taylor : una serie de potencias basada en las derivadas de una función en un solo punto.
- Serie de Maclaurin : un caso especial de una serie de Taylor, centrada en cero.
- Serie de Laurent : una extensión de la serie de Taylor, que permite valores de exponentes negativos.
- Serie de Dirichlet : Se utiliza en teoría de números .
- Serie de Fourier : describe las funciones periódicas como una serie de funciones seno y coseno . En acústica , por ejemplo, el tono fundamental y los armónicos juntos forman un ejemplo de una serie de Fourier.
- Serie newtoniana
- Polinomios de Legendre : se utilizan en física para describir un campo eléctrico arbitrario como una superposición de un campo dipolar , un campo cuadrupolo , un campo octupolar , etc.
- Polinomios de Zernike : Se utilizan en óptica para calcular aberraciones de sistemas ópticos. Cada término de la serie describe un tipo particular de aberración.
- Serie de Stirling : se utiliza como aproximación para factoriales .
Ejemplos de