En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, el modelo mínimo es el modelo estándar mínimo de ZFC . El modelo mínimo fue introducido por Shepherdson ( 1951 , 1952 , 1953 ) y redescubierto por Cohen (1963) .
La existencia de un modelo mínimo no se puede probar en ZFC , incluso asumiendo que ZFC es consistente , pero se sigue de la existencia de un modelo estándar de la siguiente manera. Si hay un conjunto W en el von Neumann universo V que es un modelo estándar de ZF, y el ordinal κ es el conjunto de ordinales que se producen en W , entonces L κ es la clase de conjuntos construibles de W . Si hay un conjunto que es un modelo estándar de ZF, entonces el conjunto más pequeño de este tipo es L κ . Este conjunto se denomina modelo mínimo de ZFC y también satisface lasaxioma de constructibilidad V = L. El teorema descendente de Löwenheim-Skolem implica que el modelo mínimo (si existe como un conjunto) es un conjunto contable . Más precisamente, cada elemento es del modelo mínimo puede ser identificado; en otras palabras, hay una oración de primer orden φ ( x ) tal que s es el elemento único del modelo mínimo para el cual φ ( s ) es verdadera.
Cohen (1963) dio otra construcción del modelo mínimo como los conjuntos fuertemente construibles, utilizando una forma modificada del universo construible de Gödel.
Por supuesto, cualquier teoría consistente debe tener un modelo, por lo que incluso dentro del modelo mínimo de teoría de conjuntos hay conjuntos que son modelos de ZFC (asumiendo que ZFC es consistente). Sin embargo, estos modelos de conjuntos no son estándar. En particular, no utilizan la relación de membresía normal y no están bien fundamentados.
Si no hay un modelo estándar, el modelo mínimo no puede existir como un conjunto. Sin embargo, en este caso, la clase de todos los conjuntos construibles juega el mismo papel que el modelo mínimo y tiene propiedades similares (aunque ahora es una clase adecuada en lugar de un conjunto contable).
El modelo mínimo de la teoría de conjuntos no tiene otros modelos internos que él mismo. En particular, no es posible utilizar el método de modelos internos para demostrar que cualquier enunciado dado verdadero en el modelo mínimo (como la hipótesis del continuo ) no es demostrable en ZFC.
Referencias
- Cohen, Paul J. (1963), "Un modelo mínimo para la teoría de conjuntos", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 69 : 537–540, doi : 10.1090 / S0002-9904-1963-10989-1 , MR 0150036
- Shepherdson, JC (1951), "Modelos internos para la teoría de conjuntos. I" (PDF) , The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic , 16 (3): 161-190, doi : 10.2307 / 2266389 , JSTOR 2266389 , MR 0045073
- Shepherdson, JC (1952), "Modelos internos para la teoría de conjuntos. II", The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 17 (4): 225-237, doi : 10.2307 / 2266609 , JSTOR 2266609 , MR 0053885
- Shepherdson, JC (1953), "Modelos internos para la teoría de conjuntos. III", The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 18 (2): 145-167, doi : 10.2307 / 2268947 , JSTOR 2268947 , MR 0057828