- Para otras personas llamadas Paul Cohen, vea Paul Cohen (desambiguación) . No confundir con Paul Cohn .
Paul Joseph Cohen (2 de abril de 1934 - 23 de marzo de 2007) [1] fue un matemático estadounidense . Es mejor conocido por sus pruebas de que la hipótesis del continuo y el axioma de elección son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , por la que recibió una medalla Fields . [2]
Paul J. Cohen | |
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Nació | Long Branch, Nueva Jersey , EE. UU. | 2 de abril de 1934
Fallecido | 23 de marzo de 2007 Stanford, California , Estados Unidos | (72 años)
alma mater | Universidad de Chicago ( MS , PhD ) |
Conocido por | Cohen forzando la hipótesis del continuo |
Premios | Premio Bôcher (1964) Medalla Fields (1966) Medalla Nacional de Ciencias (1967) |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Universidad Stanford |
Asesor de doctorado | Antoni Zygmund |
Estudiantes de doctorado | Peter Sarnak |
Influencias | Georg Cantor , Kurt Gödel |
Temprana edad y educación
Cohen nació en Long Branch, Nueva Jersey , en una familia judía que había inmigrado a los Estados Unidos desde lo que ahora es Polonia ; creció en Brooklyn . [3] [4] Se graduó en 1950, a los 16 años, de Stuyvesant High School en la ciudad de Nueva York . [1] [4]
Cohen luego estudió en el Brooklyn College de 1950 a 1953, pero se fue sin obtener su licenciatura cuando se enteró de que podía comenzar sus estudios de posgrado en la Universidad de Chicago con solo dos años de universidad. En Chicago , Cohen completó su maestría en matemáticas en 1954 y su título de Doctor en Filosofía en 1958, bajo la supervisión de Antoni Zygmund . El título de su tesis doctoral fue Temas de la teoría de la unicidad de las series trigonométricas . [5]
En 1957, antes de la obtención de su doctorado, Cohen fue nombrado Instructor de Matemáticas en la Universidad de Rochester durante un año. Luego pasó el año académico 1958-1959 en el Instituto de Tecnología de Massachusetts antes de pasar 1959-1961 como miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Fueron años en los que Cohen logró una serie de importantes avances matemáticos. En Factorización en álgebras de grupo (1959) mostró que cualquier función integrable en un grupo localmente compacto es la convolución de dos de tales funciones, resolviendo un problema planteado por Walter Rudin . En Sobre una conjetura de Littlewood y medidas idempotentes (1960), Cohen logró un avance significativo en la resolución de la conjetura de Littlewood. [6]
El 2 de junio de 1995, Cohen recibió un doctorado honorario de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la Universidad de Uppsala , Suecia . [7]
Carrera profesional
Cohen se destaca por desarrollar una técnica matemática llamada forzamiento , que usó para demostrar que ni la hipótesis del continuo (CH) ni el axioma de elección pueden probarse a partir de los axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos . Junto con el trabajo anterior de Gödel , esto demostró que ambos enunciados son lógicamente independientes de los axiomas ZF: estos enunciados no pueden ni probarse ni refutarse a partir de estos axiomas. En este sentido, la hipótesis del continuo es indecidible y es el ejemplo más conocido de un enunciado natural que es independiente de los axiomas estándar ZF de la teoría de conjuntos.
Por su resultado en la hipótesis del continuo, Cohen ganó la Medalla Fields en matemáticas en 1966, y también la Medalla Nacional de Ciencias en 1967. [8] La Medalla Fields que Cohen ganó sigue siendo la única Medalla Fields que se otorga por un trabajo en lógica matemática, a partir de 2018.
Aparte de su trabajo en teoría de conjuntos, Cohen también hizo muchas contribuciones valiosas al análisis. Fue galardonado con el Premio Bôcher Memorial de análisis matemático en 1964 por su artículo "Sobre una conjetura de Littlewood y medidas idempotentes ", [9] y presta su nombre al teorema de factorización de Cohen-Hewitt .
Cohen fue profesor titular de matemáticas en la Universidad de Stanford . Fue orador invitado en el ICM en 1962 en Estocolmo y en 1966 en Moscú.
Angus MacIntyre, de la Universidad Queen Mary de Londres, declaró sobre Cohen: "Era tremendamente inteligente, y uno habría tenido que ser ingenuo o excepcionalmente altruista para plantear el 'problema más difícil' al Paul que conocí en los años sesenta". Continuó comparando a Cohen con Kurt Gödel , diciendo: "Nada más dramático que su trabajo ha sucedido en la historia del tema". [10] El propio Gödel escribió una carta a Cohen en 1963, un borrador de la cual decía: "Permítanme repetir que es realmente un placer leer su prueba de la independencia de la hipótesis de cont [inuum]. Creo que en todos los aspectos esenciales ha dado la mejor prueba posible y esto no sucede con frecuencia. Leer su prueba tuvo un efecto igualmente agradable en mí que ver una obra realmente buena ". [11]
Hipótesis del continuo
Mientras estudiaba la hipótesis del continuo, se cita a Cohen diciendo en 1985 que había "tenido la sensación de que la gente pensaba que el problema era inútil, ya que no había una nueva forma de construir modelos de teoría de conjuntos. loco incluso de pensar en el problema ". [12]
"Un punto de vista que el autor [Cohen] cree que eventualmente puede llegar a ser aceptado es que CH es obviamente falso. La razón principal por la que uno acepta el axioma del infinito es probablemente que sentimos que es absurdo pensar que el proceso de agregar solo una establecer a la vez puede agotar todo el universo. De manera similar con los axiomas superiores del infinito. Ahoraes la cardinalidad del conjunto de ordinales contables, y esta es simplemente una forma especial y más simple de generar un cardinal superior. El conjunto[el continuo], en contraste, es generado por un principio totalmente nuevo y más poderoso, a saber, el axioma del conjunto de poder . No es razonable esperar que cualquier descripción de un cardenal más grande que intente construir ese cardenal a partir de ideas derivadas del axioma de reemplazo pueda llegar a alcanzar.
Por lo tanto es mayor que , dónde , etc. Este punto de vista se refiere como un conjunto increíblemente rico que nos brinda un axioma nuevo y audaz, que nunca puede ser abordado por ningún proceso de construcción fragmentado. Quizás las generaciones posteriores vean el problema con más claridad y se expresen con más elocuencia ". [13]
Un "producto duradero y poderoso" del trabajo de Cohen sobre la hipótesis del continuo, y que ha sido utilizado por "innumerables matemáticos" [12] se conoce como "forzar" , y se utiliza para construir modelos matemáticos para probar una hipótesis dada para verdad o falsedad.
Poco antes de su muerte, Cohen dio una conferencia en la que describió su solución al problema de la hipótesis del continuo en la conferencia del centenario de Gödel de 2006 en Viena . [14]
Muerte
Cohen y su esposa, Christina (de soltera Karls), tuvieron tres hijos. Cohen murió el 23 de marzo de 2007 en Stanford, California después de sufrir una enfermedad pulmonar . [15]
Publicaciones Seleccionadas
- Cohen, Paul J. (diciembre de 1963). "La independencia de la hipótesis del continuo" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 50 (6): 1143-1148. Código bibliográfico : 1963PNAS ... 50.1143C . doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . PMC 221287 . PMID 16578557 .
- Cohen, Paul J. (enero de 1964). "La hipótesis de la independencia del continuo, II" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 51 (1): 105-110. Código Bibliográfico : 1964PNAS ... 51..105C . doi : 10.1073 / pnas.51.1.105 . PMC 300611 . PMID 16591132 .
Ver también
- Álgebra de Cohen
Referencias
- ^ a b Levy, Dawn (28 de marzo de 2007). "Paul Cohen, ganador del premio más importante de matemáticas del mundo, muere a los 72 años" . Informe de Stanford . Consultado el 31 de octubre de 2007 .
- ^ Pearce, Jeremy (2 de abril de 2007). "Paul J. Cohen, pionero de las matemáticas, muere a los 72" . NY Times .
- ^ Macintyre, AJ "Paul Joseph Cohen" Archivado el 25 de diciembre de 2010 en la Wayback Machine , London Mathematical Society . Consultado el 3 de marzo de 2011. "Los orígenes de Cohen eran humildes. Nació en Long Branch, Nueva Jersey, el 2 de abril de 1934, en una familia de inmigrantes polacos".
- ^ a b Albers, Donald J .; Alexanderson, Gerald L .; Reid, Constance , eds. (1990), "Paul Cohen", Más gente matemática , Harcourt Brace Jovanovich, págs. 42–58.
- ^ Paul J. Cohen (1958), Temas de la teoría de la unicidad de las series trigonométricas .
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Paul Joseph Cohen" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ "Doctorados honorarios - Universidad de Uppsala, Suecia" . www.uu.se . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
- ^ "Medalla nacional de ciencia del presidente: detalles del destinatario - NSF - National Science Foundation" . www.nsf.gov . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
- ^ Cohen, Paul J. (1960). "Sobre una conjetura de Littlewood y medidas idempotentes". Amer. J. Math . 82 (2): 191–212. doi : 10.2307 / 2372731 . JSTOR 2372731 . Señor 0133397 .
- ^ Davidson, Keay (30 de marzo de 2007). "Paul Cohen - profesor de Stanford, matemático aclamado" . Crónica de San Francisco . Consultado el 31 de octubre de 2007 .
- ^ Solomon Feferman , El Proyecto Editorial Gödel: Una sinopsis [1] p. 11.
- ^ a b Pearce, Jeremy (2 de abril de 2007). "Paul J. Cohen, pionero de las matemáticas, muere a los 72" . The New York Times . Consultado el 31 de octubre de 2007 .
- ^ Cohen, P. Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo . pag. 151.
- ^ Video de la conferencia de Paul Cohen, seis partes, Centenario de Gödel, Viena 2006 en YouTube
- ^ Pearce, Jeremy (2 de abril de 2007). "Paul J. Cohen, pionero de las matemáticas, muere a los 72" . The New York Times . ISSN 0362-4331 . Consultado el 13 de junio de 2020 .
Otras lecturas
- Akihiro Kanamori , " Cohen y la teoría de conjuntos ", The Bulletin of Symbolic Logic , Volumen 14, Número 3, septiembre de 2008.
- Sarnak, Peter (diciembre de 2007). "Recordando a Paul Cohen" (PDF) . MAA Focus . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 27 (9): 21-22. ISSN 0731-2040 . Consultado el 31 de mayo de 2009 .
enlaces externos
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Paul Joseph Cohen" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Paul Joseph Cohen en el Proyecto de genealogía matemática
- paulcohen.org - un sitio web conmemorativo que celebra la vida de Paul Cohen
- Obituario de Stanford