En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas , el universo de von Neumann , o jerarquía de conjuntos de von Neumann , denotado por V , es la clase de conjuntos hereditarios bien fundamentados . Esta colección, formalizada por la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), se utiliza a menudo para proporcionar una interpretación o motivación de los axiomas de ZFC. El concepto lleva el nombre de John von Neumann , aunque fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo en 1930.
El rango de un conjunto bien fundado se define inductivamente como el menor número ordinal mayor que los rangos de todos los miembros del conjunto. [1] En particular, el rango del conjunto vacío es cero y cada ordinal tiene un rango igual a sí mismo. Los conjuntos en V se dividen en la jerarquía transfinita V α , denominada jerarquía acumulativa , según su rango.
Definición
La jerarquía acumulativa es una colección de conjuntos V α indexados por la clase de números ordinales ; en particular, V α es el conjunto de todos los conjuntos que tienen rangos menores que α. Por tanto, hay un conjunto V α para cada número ordinal α. V α puede definirse por recursión transfinita de la siguiente manera:
- Sea V 0 el conjunto vacío :
- Para cualquier número ordinal β, sea V β + 1 el conjunto de potencias de V β :
- Para cualquier límite ordinal λ, sea V λ la unión de todas las etapas V hasta ahora:
Un hecho crucial sobre esta definición es que hay una única fórmula φ (α, x ) en el lenguaje de ZFC que define "el conjunto x está en V α ".
Los conjuntos V α se denominan etapas o rangos .
La clase V se define como la unión de todas las etapas V :
Una definición equivalente establece
para cada α ordinal, donde es el conjunto de poder de.
El rango de un conjunto S es el α más pequeño tal que Otra forma de calcular el rango es:
- .
Etapas finitas y de baja cardinalidad de la jerarquía
Las primeras cinco etapas de von Neumann V 0 a V 4 se pueden visualizar de la siguiente manera. (Un cuadro vacío representa el conjunto vacío. Un cuadro que contiene solo un cuadro vacío representa el conjunto que contiene solo el conjunto vacío, y así sucesivamente).
Esta secuencia exhibe crecimiento tetracional . El conjunto V 5 contiene 2 16 = 65536 elementos; el conjunto V 6 contiene 2 65536 elementos, lo que supera sustancialmente el número de átomos del universo conocido ; y para cualquier n natural , el conjunto V n + 1 contiene 2 ↑↑ n elementos usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Por tanto, las etapas finitas de la jerarquía acumulativa no se pueden escribir explícitamente después de la etapa 5. El conjunto V ω tiene la misma cardinalidad que ω. El conjunto V ω + 1 tiene la misma cardinalidad que el conjunto de números reales.
Aplicaciones e interpretaciones
Aplicaciones de V como modelos para teorías de conjuntos
Si ω es el conjunto de números naturales , entonces V ω es el conjunto de conjuntos finitos hereditariamente , que es un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma del infinito . [2] [3]
V ω + ω es el universo de las "matemáticas ordinarias" y es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo . [4] Un argumento simple a favor de la adecuación de V ω + ω es la observación de que V ω + 1 es adecuado para los números enteros, mientras que V ω + 2 es adecuado para los números reales, y la mayoría de las otras matemáticas normales pueden construirse como relaciones de varios tipos de estos conjuntos sin necesidad de que el axioma de reemplazo vaya fuera de V ω + ω .
Si κ es un cardinal inaccesible , entonces V κ es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) en sí, y V κ + 1 es un modelo de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . [5] [6] (Tenga en cuenta que todos los modelos ZFC también son modelos ZF y que todos los modelos ZF también son modelos Z).
Interpretación de V como el "conjunto de todos los conjuntos"
V no es "el conjunto de todos los conjuntos " por dos razones. Primero, no es un conjunto; aunque cada etapa individual V α es un conjunto, su unión V es una clase propia . En segundo lugar, los conjuntos en V son solo los conjuntos bien fundamentados. El axioma de fundación (o regularidad) exige que cada conjunto ser bien fundada y por lo tanto en V , y por lo tanto en ZFC cada conjunto es en V . Pero otros sistemas de axiomas pueden omitir el axioma de fundamento o reemplazarlo por una fuerte negación (un ejemplo es el axioma anti-fundamento de Aczel ). Estas teorías de conjuntos no bien fundamentadas no se emplean comúnmente, pero aún son posibles de estudiar.
Una tercera objeción a la interpretación del "conjunto de todos los conjuntos" es que no todos los conjuntos son necesariamente "conjuntos puros", que se construyen a partir del conjunto vacío utilizando conjuntos de potencias y uniones. Zermelo propuso en 1908 la inclusión de elementos ureterales , a partir de los cuales construyó una jerarquía recursiva transfinita en 1930. [7] Tales elementos urinarios se utilizan ampliamente en la teoría de modelos , particularmente en los modelos de Fraenkel-Mostowski. [8]
V y el axioma de regularidad
La fórmula V = ⋃ α V α a menudo se considera un teorema, no una definición. [9] [10] Roitman afirma (sin referencias) que la comprensión de que el axioma de regularidad es equivalente a la igualdad del universo de conjuntos ZF con la jerarquía acumulativa se debe a von Neumann. [11]
El estado existencial de V
Dado que la clase V puede considerarse el escenario de la mayor parte de las matemáticas, es importante establecer que "existe" en algún sentido. Dado que la existencia es un concepto difícil, normalmente se reemplaza la cuestión de la existencia por la cuestión de la coherencia, es decir, si el concepto está libre de contradicciones. Un obstáculo importante lo plantean los teoremas de incompletitud de Gödel , que implican efectivamente la imposibilidad de probar la coherencia de la teoría de conjuntos ZF en la propia teoría de conjuntos ZF, siempre que sea de hecho coherente. [12]
La integridad del universo de von Neumann depende fundamentalmente de la integridad de los números ordinales , que actúan como parámetro de rango en la construcción, y de la integridad de la inducción transfinita , mediante la cual se construyen tanto los números ordinales como el universo de von Neumann. Se puede decir que la integridad de la construcción de números ordinales se basa en los artículos de von Neumann de 1923 y 1928. [13] Se puede decir que la integridad de la construcción de V por inducción transfinita se estableció en el artículo de 1930 de Zermelo. [7]
Historia
Gregory H. Moore (1982) afirma que la jerarquía de tipos acumulativos, también conocida como el universo de von Neumann, se atribuye incorrectamente a von Neumann . [14] La primera publicación del universo de von Neumann fue realizada por Ernst Zermelo en 1930. [7]
La existencia y unicidad de la definición recursiva transfinita general de conjuntos fue demostrada en 1928 por von Neumann tanto para la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel [15] como para la propia teoría de conjuntos de Neumann (que más tarde se convirtió en la teoría de conjuntos NBG ). [16] En ninguno de estos artículos aplicó su método recursivo transfinito para construir el universo de todos los conjuntos. Las presentaciones del universo de von Neumann por Bernays [9] y Mendelson [10] dan crédito a von Neumann por el método de construcción por inducción transfinita, aunque no por su aplicación a la construcción del universo de conjuntos ordinarios.
La notación V no es un tributo al nombre de von Neumann. Fue utilizado para el universo de conjuntos en 1889 por Peano, la letra V significa "Verum", que utilizó como símbolo lógico y para denotar la clase de todos los individuos. [17] La notación V de Peano también fue adoptada por Whitehead y Russell para la clase de todos los conjuntos en 1910. [18] La notación V (para la clase de todos los conjuntos) no fue utilizada por von Neumann en sus artículos de 1920 sobre números ordinales y inducción transfinita. Paul Cohen [19] atribuye explícitamente su uso de la letra V (para la clase de todos los conjuntos) a un artículo de 1940 de Gödel, [20] aunque Gödel probablemente obtuvo la notación de fuentes anteriores como Whitehead y Russell. [18]
Perspectivas filosóficas
Hay dos enfoques para comprender la relación del universo V de von Neumann con ZFC (junto con muchas variaciones de cada enfoque y matices entre ellos). Aproximadamente, los formalistas tenderán a ver a V como algo que fluye de los axiomas de ZFC (por ejemplo, ZFC demuestra que cada conjunto está en V). Por otro lado, es más probable que los realistas vean la jerarquía de von Neumann como algo directamente accesible a la intuición, y los axiomas de ZFC como proposiciones para cuya verdad en V podemos dar argumentos intuitivos directos en lenguaje natural. Una posible posición intermedia es que la imagen mental de la jerarquía de von Neumann proporciona a los axiomas ZFC una motivación (para que no sean arbitrarios), pero no necesariamente describe objetos con existencia real.
Ver también
- Universo (matemáticas)
- Universo construible
- Universo Grothendieck
- Cardenal inaccesible
- S (teoría de conjuntos)
Notas
- ^ Mirimanoff 1917 ; Moore 2013 , págs. 261-262; Rubin 1967 , pág. 214.
- ^ Roitman , 2011 , p. 136, prueba que: " V ω es un modelo de todos los axiomas de ZFC excepto el infinito".
- ^ Cohen , 2008 , p. 54, establece: "El primer axioma realmente interesante [de la teoría de conjuntos ZF] es el axioma del infinito. Si lo descartamos, entonces podemos tomar como modelo para ZF el conjunto M de todos los conjuntos finitos que se pueden construir a partir de ∅ . [...] Está claro que M será un modelo para los otros axiomas, ya que ninguno de ellos sale de la clase de conjuntos finitos ".
- ^ Smullyan y montaje 2010 . Consulte la página 96 para ver una prueba de que V ω + ω es un modelo de Zermelo.
- ^ Cohen , 2008 , p. 80, establece y justifica que si κ es fuertemente inaccesible, entonces V κ es un modelo de ZF.
- "Está claro que si A es un cardinal inaccesible, entonces el conjunto de todos los conjuntos de rango menor que A es un modelo para ZF, ya que los dos únicos axiomas problemáticos, Conjunto de poder y Reemplazo, no salen del conjunto de cardinales menos que A. "
- ^ Roitman 2011 , págs. 134-135, demuestra que si κ es muy inaccesible, entonces V κ es un modelo de ZFC.
- ^ a b c Zermelo 1930 . Ver en particular las páginas 36–40.
- ^ Howard y Rubin 1998 , págs. 175-221.
- ↑ a b Bernays, 1991 . Consulte las páginas 203–209.
- ↑ a b Mendelson, 1964 . Consulte la página 202.
- ^ Roitman 2011 . Consulte la página 79.
- ^ Ver artículo sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados y Gödel 1931 .
- ↑ von Neumann 1923 , von Neumann 1928b . Véase también la presentación en inglés del "teorema de recursividad general" de von Neumann de Bernays 1991 , págs. 100-109.
- ^ Moore, 2013 . Consulte la página 279 para ver la afirmación de la atribución falsa a von Neumann. Consulte las páginas 270 y 281 para conocer la atribución a Zermelo.
- ↑ von Neumann, 1928b .
- ↑ von Neumann, 1928a . Consulte las páginas 745–752.
- ^ Peano 1889 . Consulte las páginas VIII y XI.
- ^ a b Whitehead y Russell 2009 . Consulte la página 229.
- ^ Cohen, 2008 . Consulte la página 88.
- ^ Gödel 1940 .
Referencias
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- Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la lógica matemática . Van Nostrand Reinhold.
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tiene texto extra ( ayuda ) - Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" . Fundamenta Mathematicae . 16 : 29–47. doi : 10.4064 / fm-16-1-29-47 .