La iteración de Richardson modificada es un método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales . La iteración de Richardson fue propuesta por Lewis Fry Richardson en su trabajo de 1910. Es similar al método de Jacobi y Gauss-Seidel .
Buscamos la solución a un conjunto de ecuaciones lineales, expresadas en términos matriciales como
La iteración de Richardson es
dónde es un parámetro escalar que debe elegirse de manera que la secuencia converge.
Es fácil ver que el método tiene los puntos fijos correctos , porque si converge, entonces y tiene que aproximarse a una solución de .
Convergencia
Restando la solución exacta e introduciendo la notación del error , obtenemos la igualdad por los errores
Por lo tanto,
para cualquier norma de vector y la norma de matriz inducida correspondiente. Por tanto, si, el método converge.
Suponer que es simétrico positivo definido y queson los valores propios de. El error converge a Si para todos los valores propios . Si, por ejemplo, todos los valores propios son positivos, esto puede garantizarse si se elige de tal manera que . La elección óptima, minimizando todos, es , que da la iteración de Chebyshev más simple . Esta elección óptima produce un radio espectral de
dónde es el número de condición .
Si hay valores propios positivos y negativos, el método divergerá para cualquier si el error inicial tiene componentes distintos de cero en los vectores propios correspondientes .
Equivalencia al descenso de gradiente
Considere minimizar la función . Dado que esta es una función convexa , una condición suficiente para la optimización es que el gradiente sea cero () que da lugar a la ecuación
Definir y . Debido a la forma de A , es una matriz semidefinida positiva , por lo que no tiene valores propios negativos.
Un paso de descenso de gradiente es
que es equivalente a la iteración de Richardson al hacer .
Ver también
Referencias
- Richardson, LF (1910). "La solución aritmética aproximada por diferencias finitas de problemas físicos que involucran ecuaciones diferenciales, con una aplicación a las tensiones en una presa de mampostería" . Philosophical Transactions de la Royal Society A . 210 : 307–357. doi : 10.1098 / rsta.1911.0009 . JSTOR 90994 .
- Lebedev, Vyacheslav Ivanovich (2001) [1994], "Método de iteración de Chebyshev" , en Michiel Hazewinkel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , ISBN 1-4020-0609-8, consultado el 25 de mayo de 2010