- Nota: la función de distribución de Wigner se abrevia aquí como WD en lugar de WDF como se usa en la función de distribución de Wigner
Una función de distribución de Wigner modificada es una variación de la función de distribución de Wigner (WD) con términos cruzados reducidos o eliminados.
La distribución de Wigner (WD) fue propuesta por primera vez para correcciones a la mecánica estadística clásica en 1932 por Eugene Wigner . La función de distribución de Wigner , o distribución de Wigner-Ville (WVD) para señales analíticas, también tiene aplicaciones en el análisis de frecuencia de tiempo. La distribución de Wigner ofrece una mejor localización automática de términos en comparación con el espectrograma difuminado(SP). Sin embargo, cuando se aplica a una señal con componentes multifrecuencia, aparecen términos cruzados debido a su naturaleza cuadrática. Se han propuesto varios métodos para reducir los términos cruzados. Por ejemplo, en 1994 L. Stankovic propuso una técnica novedosa, ahora mayoritariamente conocida como método S, que resultó en la reducción o eliminación de términos cruzados. El concepto del método S es una combinación entre el espectrograma y la Distribución Pseudo Wigner (PWD), la versión en ventana del WD.
El WD original, el espectrograma y los WD modificados pertenecen a la clase de Cohen de representaciones de tiempo-frecuencia bilineales:
dónde es la función del núcleo de Cohen , que a menudo es una función de paso bajo y normalmente sirve para enmascarar la interferencia en la representación original de Wigner.
Función del kernel de Cohen:
dónde es la transformada de Fourier de corto tiempo de.
Función del kernel de Cohen: que es el WD de la función de ventana en sí. Esto se puede verificar aplicando la propiedad de convolución de la función de distribución de Wigner .
El espectrograma no puede producir interferencia ya que es una distribución cuadrática de valor positivo.
No se puede resolver el problema de términos cruzados, sin embargo, puede resolver el problema de la diferencia de tiempo de 2 componentes mayor que el tamaño de ventana B.
- Forma III modificada (distribución pseudo L-Wigner)
Donde L es cualquier número entero mayor que 0
Aumentar L puede reducir la influencia del término cruzado (sin embargo, no puede eliminarlo por completo)
Por ejemplo, para L = 2, el tercer término dominante se divide por 4 (lo que equivale a 12 dB).
Esto proporciona una mejora significativa con respecto a la distribución de Wigner.
Propiedades de la distribución L-Wigner:
- La distribución de L-Wigner es siempre real.
- Si la señal cambia en el tiempo , entonces su LWD también se cambia en el tiempo,
- El LWD de una señal modulada se cambia de frecuencia
- Es la señal es de tiempo limitado, es decir, entonces la distribución de L-Wigner tiene un límite de tiempo,
- Si la señal es banda limitada con (), luego está limitado en el dominio de la frecuencia por también.
- La distribución integral de L-Wigner sobre la frecuencia es igual a la potencia de la señal generalizada:
- Integral de a lo largo del tiempo y la frecuencia es igual a la poder del norma de señal :
- La integral en el tiempo es:
- Por un gran valor de Podemos descuidar todos los valores de , Comparándolos con el de los puntos , donde la distribución alcanza su supremo esencial:
- Forma IV modificada (función de distribución polinomial de Wigner)
Cuándo y , se convierte en la función de distribución original de Wigner.
Puede evitar el término cruzado cuando el orden de fase de la función exponencial no es mayor que
Sin embargo, el término cruzado entre dos componentes no se puede eliminar.
debe elegirse correctamente de modo que
Si
Cuándo ,
- Distribución de pseudo Wigner
Función del kernel de Cohen: que se concentra en el eje de frecuencia.
Tenga en cuenta que el pseudo Wigner también se puede escribir como la transformada de Fourier de la "correlación espectral" de la STFT
- Distribución de pseudo Wigner suavizada :
En el pseudo Wigner, la ventana de tiempo actúa como un suavizado de dirección de frecuencia. Por lo tanto, suprime los componentes de interferencia de la distribución de Wigner que oscilan en la dirección de la frecuencia. El suavizado de la dirección del tiempo se puede implementar mediante una convolución de tiempo de la PWD con una función de paso bajo :
Función del kernel de Cohen: dónde es la transformada de Fourier de la ventana .
Por tanto, el núcleo correspondiente a la pseudo distribución de Wigner suavizada tiene una forma separable. Tenga en cuenta que incluso si tanto el SPWD como el S-Method suavizan el WD en el dominio del tiempo, no son equivalentes en general.
Función del kernel de Cohen:
El método S limita el rango de la integral del PWD con una función de ventana de paso bajo de la transformada de Fourier . Esto da como resultado la eliminación de términos cruzados, sin difuminar los términos automáticos que están bien concentrados a lo largo del eje de frecuencia. El método S logra un equilibrio en el suavizado entre la distribución pseudo-Wigner [] y el espectrograma de potencia [].
Tenga en cuenta que en el artículo original de 1994, Stankovic define el método S con una versión modulada de la transformada de Fourier de corta duración:
dónde
Incluso en este caso todavía tenemos