Las distribuciones bilineales de tiempo-frecuencia , o distribuciones cuadráticas de tiempo-frecuencia , surgen en un subcampo de análisis de señales y procesamiento de señales llamado procesamiento de señales de tiempo-frecuencia , y en el análisis estadístico de datos de series de tiempo . Estos métodos se utilizan cuando es necesario lidiar con una situación en la que la composición de frecuencia de una señal puede cambiar con el tiempo; [1] Este subcampo solía llamarse análisis de señales de tiempo-frecuencia, y ahora se denomina más a menudo procesamiento de señales de tiempo-frecuencia debido al progreso en el uso de estos métodos para una amplia gama de problemas de procesamiento de señales.
Fondo
Métodos para el análisis de series de tiempo, tanto en el análisis de señales y análisis de series temporales , se han desarrollado como metodologías esencialmente separadas aplicables a, y ubicado en, o bien el tiempo o el dominio de la frecuencia . Se requiere un enfoque mixto en las técnicas de análisis de tiempo-frecuencia que son especialmente efectivas para analizar señales no estacionarias, cuya distribución de frecuencia y magnitud varían con el tiempo. Ejemplos de estos son las señales acústicas . Las clases de "distribuciones cuadráticas de tiempo-frecuencia" (o distribuciones bilineales de tiempo-frecuencia ") se utilizan para el análisis de señales de tiempo-frecuencia. Esta clase es similar en formulación a la función de distribución de clases de Cohen que se utilizó en 1966 en el contexto de la mecánica cuántica. Esta función de distribución es matemáticamente similar a una representación de tiempo-frecuencia generalizada que utiliza transformaciones bilineales. En comparación con otras técnicas de análisis de tiempo-frecuencia , como la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT), la transformación bilineal (o distribuciones cuadráticas de tiempo-frecuencia) Puede que no tenga una mayor claridad para la mayoría de las señales prácticas, pero proporciona un marco alternativo para investigar nuevas definiciones y nuevos métodos. Si bien sufre de una contaminación cruzada inherente al analizar señales de varios componentes, mediante el uso de una función de ventana cuidadosamente elegida ( s), la interferencia se puede mitigar significativamente, a expensas de la resolución. Todas estas distribuciones bilineales un son interconvertibles entre sí, cf. transformación entre distribuciones en el análisis de tiempo-frecuencia .
Distribución de Wigner – Ville
La distribución de Wigner-Ville es una forma cuadrática que mide una energía de tiempo-frecuencia local dada por:
La distribución de Wigner-Ville sigue siendo real ya que es la transformada de Fourier de f ( u + τ / 2) · f * ( u - τ / 2), que tiene simetría hermitiana en τ . También se puede escribir como una integración de frecuencia aplicando la fórmula de Parseval:
- Proposición 1. para cualquier f en L 2 (R)
- Teorema de Moyal. Para f y g en L 2 (R),
- Proposición 2 (apoyo tiempo-frecuencia). Si f tiene un soporte compacto, entonces para todos ξ el soporte de a lo largo de u es igual al soporte de f . Del mismo modo, si tiene un soporte compacto, entonces para todos u el apoyo de a lo largo de ξ es igual al apoyo de .
- Proposición 3 (frecuencia instantánea). Si luego
Interferencia
Dejar ser una señal compuesta. Entonces podemos escribir,
dónde
es la distribución cruzada de Wigner-Ville de dos señales. El término de interferencia
es una función real que crea valores distintos de cero en ubicaciones inesperadas (cerca del origen) en el avión. Los términos de interferencia presentes en una señal real se pueden evitar calculando la parte analítica.
Positividad y kernel suavizante
Los términos de interferencia son oscilatorios ya que las integrales marginales desaparecen y pueden eliminarse parcialmente suavizando con un kernel θ
La resolución de frecuencia de tiempo de esta distribución depende de la propagación del kernel θ en la vecindad de. Dado que las interferencias toman valores negativos, se puede garantizar que todas las interferencias se eliminen imponiendo que
El espectrograma y el escalograma son ejemplos de distribuciones de energía de tiempo-frecuencia positivas. Deje que una transformación lineal definirse sobre una familia de átomos de frecuencia de tiempo . Para cualquier existe un átomo único centrado en la frecuencia de tiempo en . La densidad de energía de frecuencia-tiempo resultante es
De la fórmula Moyal,
que es el promedio de frecuencia de tiempo de una distribución de Wigner-Ville. Por tanto, el núcleo de suavizado se puede escribir como
La pérdida de resolución de frecuencia de tiempo depende de la extensión de la distribución en el barrio de .
Ejemplo 1
Un espectrograma calculado con átomos de Fourier en ventana,
Para un espectrograma, el promedio de Wigner-Ville es, por lo tanto, una convolución bidimensional con . Si g es una ventana gaussiana,es un gaussiano bidimensional. Esto prueba que promediarcon un gaussiano suficientemente amplio define la densidad de energía positiva. La clase general de distribuciones de tiempo-frecuencia obtenidas convolucionandocon un kernel arbitrario θ se llama una clase de Cohen, que se analiza a continuación.
Teorema de Wigner. No existe una distribución de energía cuadrática positiva Pf que satisfaga las siguientes integrales marginales de tiempo y frecuencia:
Definición matemática
La definición de la clase de Cohen de distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) es la siguiente:
dónde es la función de ambigüedad (AF), que se discutirá más adelante; yes la función del núcleo de Cohen , que a menudo es una función de paso bajo y normalmente sirve para enmascarar la interferencia. En la representación original de Wigner,.
Una definición equivalente se basa en una convolución de la función de distribución de Wigner (WD) en lugar del AF:
donde la función del kernel se define en el dominio del tiempo-frecuencia en lugar del dominio de la ambigüedad. En la representación original de Wigner,. La relación entre los dos núcleos es la misma que la que existe entre el WD y el AF, es decir, dos transformadas de Fourier sucesivas (cf. diagrama).
es decir
o equivalente
Función de ambigüedad
La clase de distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) se puede entender más fácilmente en términos de la función de ambigüedad , cuya explicación sigue.
Considere la conocida densidad espectral de potencia y la señal de auto-correlación funciónen el caso de un proceso estacionario. La relación entre estas funciones es la siguiente:
Para una señal no estacionaria , estas relaciones se pueden generalizar utilizando una densidad espectral de potencia dependiente del tiempo o, de manera equivalente, la famosa función de distribución de Wigner de como sigue:
Si se toma la transformada de Fourier de la función de autocorrelación con respecto a t en lugar de τ , obtenemos la función de ambigüedad de la siguiente manera:
La relación entre la función de distribución de Wigner, la función de autocorrelación y la función de ambigüedad se puede ilustrar en la siguiente figura.
Al comparar la definición de distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) con la de la función de distribución de Wigner, se encuentra fácilmente que la última es un caso especial de la primera con . Alternativamente, las distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) se pueden considerar como una versión enmascarada de la función de distribución de Wigner si una función del núcleoesta elegido. Una función de kernel elegida correctamente puede reducir significativamente el término cruzado no deseado de la función de distribución de Wigner.
¿Cuál es el beneficio de la función adicional del kernel? La siguiente figura muestra la distribución del término automático y el término cruzado de una señal multicomponente tanto en la función de distribución de ambigüedad como en la de Wigner.
Para señales multicomponente en general, la distribución de su término automático y término cruzado dentro de su función de distribución de Wigner generalmente no es predecible y, por lo tanto, el término cruzado no se puede eliminar fácilmente. Sin embargo, como se muestra en la figura, para la función de ambigüedad, el término automático de la señal multicomponente tenderá inherentemente a cerrar el origen en el plano ητ , y el término cruzado tenderá a alejarse del origen. Con esta propiedad, la entrada de términos cruzados se puede filtrar sin esfuerzo si se aplica una función de kernel de paso bajo adecuada en ητ -domain. El siguiente es un ejemplo que demuestra cómo se filtra el término cruzado.
Propiedades del kernel
La transformada de Fourier de es
La siguiente proposición da las condiciones necesarias y suficientes para asegurar que satisface propiedades energéticas marginales como las de la distribución de Wigner-Ville.
- Proposición: Las propiedades energéticas marginales.
- están satisfechos por todos si y solo si
Algunas distribuciones de frecuencia de tiempo
Función de distribución de Wigner
Como se mencionó anteriormente, la función de distribución de Wigner es un miembro de la clase de distribuciones cuadráticas de tiempo-frecuencia (QTFD) con la función de kernel . La definición de distribución de Wigner es la siguiente:
Funciones de distribución de Wigner modificadas
Invariancia afín
Podemos diseñar distribuciones de energía de tiempo-frecuencia que satisfagan la propiedad de escala
al igual que la distribución de Wigner-Ville. Si
luego
Esto equivale a imponer que
y por lo tanto
Las distribuciones de Rihaczek y Choi-Williams son ejemplos de distribuciones de clase de Cohen invariantes afines.
Función de distribución de Choi-Williams
El núcleo de la distribución Choi-Williams se define de la siguiente manera:
donde α es un parámetro ajustable.
Función de distribución de Rihaczek
El núcleo de la distribución de Rihaczek se define de la siguiente manera:
Con este kernel en particular, un simple cálculo demuestra que
Función de distribución en forma de cono
El núcleo de la función de distribución en forma de cono se define de la siguiente manera:
donde α es un parámetro ajustable. Consulte Transformación entre distribuciones en el análisis de frecuencia de tiempo . Se pueden encontrar más QTFD de este tipo y una lista completa en, por ejemplo, el texto de Cohen citado.
Espectro de procesos no estacionarios
Se define un espectro variable en el tiempo para procesos no estacionarios a partir de la distribución Wigner-Ville esperada. Los procesos localmente estacionarios aparecen en muchos sistemas físicos donde las fluctuaciones aleatorias son producidas por un mecanismo que cambia lentamente en el tiempo. Estos procesos pueden aproximarse localmente mediante un proceso estacionario. Dejar ser un proceso de valor real de media cero con covarianza
El operador de covarianza K se define para cualquier señal determinista por
Para procesos localmente estacionarios, los autovectores de K están bien aproximados por el espectro de Wigner-Ville.
Espectro Wigner – Ville
Las propiedades de la covarianza se estudian en función de y :
El proceso es estacionario en sentido amplio si la covarianza depende sólo de:
Los vectores propios son los exponenciales complejos y los valores propios correspondientes están dados por el espectro de potencia
Para procesos no estacionarios, Martin y Flandrin han introducido un espectro variable en el tiempo
Para evitar problemas de convergencia, suponemos que X tiene soporte compacto para que tiene soporte compacto en . Desde arriba podemos escribir
lo que demuestra que el espectro de variables en el tiempo es el valor esperado de la Wigner-Ville transformar del proceso X . Aquí, la integral estocástica de Wigner-Ville se interpreta como una integral cuadrática media: [2]
Referencias
- ^ E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, "Representación de características de tiempo-frecuencia utilizando la concentración de energía: una visión general de los avances recientes", Procesamiento de señales digitales, vol. 19, no. 1, págs. 153–183, enero de 2009.
- ^ un recorrido por wavelet del procesamiento de señales , Stephane Mallat
- L. Cohen, Análisis de frecuencia de tiempo, Prentice-Hall, Nueva York, 1995. ISBN 978-0135945322
- B. Boashash, editor, "Análisis y procesamiento de señales de frecuencia y tiempo: una referencia completa", Elsevier Science, Oxford, 2003.
- L. Cohen, “Distribuciones de frecuencia en el tiempo: una revisión”, Actas del IEEE, vol. 77, no. 7, págs. 941–981, 1989.
- S. Qian y D. Chen, Análisis conjunto de tiempo-frecuencia: métodos y aplicaciones, cap. 5, Prentice Hall, Nueva Jersey, 1996.
- H. Choi y WJ Williams, "Representación de frecuencia de tiempo mejorada de señales multicomponente usando núcleos exponenciales", IEEE. Trans. Acústica, habla, procesamiento de señales, vol. 37, no. 6, págs. 862–871, junio de 1989.
- Y. Zhao, LE Atlas y RJ Marks, “El uso de núcleos en forma de cono para representaciones generalizadas de tiempo-frecuencia de señales no estacionarias”, IEEE Trans. Acústica, habla, procesamiento de señales, vol. 38, no. 7, págs. 1084-1091, julio de 1990.
- B. Boashash, “Formulación heurística de distribuciones de frecuencia de tiempo”, Capítulo 2, págs. 29-58, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de frecuencia de tiempo: una referencia completa, Elsevier Science, Oxford, 2003.
- B. Boashash, “Theory of Quadratic TFDs”, Capítulo 3, págs. 59-82, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa, Elsevier, Oxford, 2003.