La función de distribución de Wigner (WDF) se utiliza en el procesamiento de señales como una transformación en el análisis de tiempo-frecuencia .
El WDF fue propuesto por primera vez en física para dar cuenta de las correcciones cuánticas a la mecánica estadística clásica en 1932 por Eugene Wigner , y es de importancia en la mecánica cuántica en el espacio de fase (ver, a modo de comparación: distribución de cuasi-probabilidad de Wigner , también llamada Función Wigner o distribución Wigner-Ville ).
Dada la estructura algebraica compartida entre los pares conjugados posición-momento y tiempo-frecuencia , también sirve de manera útil en el procesamiento de señales, como una transformación en el análisis de tiempo-frecuencia, el tema de este artículo. En comparación con una transformada de Fourier de tiempo corto , como la transformada de Gabor , la función de distribución de Wigner proporciona la resolución temporal frente a la frecuencia más alta posible que es matemáticamente posible dentro de las limitaciones del principio de incertidumbre. La desventaja es la introducción de términos cruzados grandes entre cada par de componentes de señal y entre frecuencias positivas y negativas, lo que hace que la formulación original de la función no se ajuste a la mayoría de las aplicaciones de análisis. Se han propuesto modificaciones posteriores que conservan la nitidez de la función de distribución de Wigner pero suprimen en gran medida los términos cruzados.
Definición matemática
Hay varias definiciones diferentes para la función de distribución de Wigner. La definición que se da aquí es específica del análisis de frecuencia de tiempo. Dada la serie de tiempo, su función de autocorrelación no estacionaria está dada por
dónde denota el promedio de todas las posibles realizaciones del proceso y es la media, que puede o no ser función del tiempo. La función Wigner se obtiene expresando primero la función de autocorrelación en términos del tiempo medio y la demora , y luego Fourier transformando el rezago.
Entonces, para una sola serie de tiempo (media cero), la función de Wigner simplemente viene dada por
La motivación de la función Wigner es que se reduce a la función de densidad espectral en todo momento.para procesos estacionarios, sin embargo, es totalmente equivalente a la función de autocorrelación no estacionaria. Por lo tanto, la función de Wigner nos dice (aproximadamente) cómo cambia la densidad espectral con el tiempo.
Ejemplo de análisis de frecuencia de tiempo
A continuación, se muestran algunos ejemplos que ilustran cómo se utiliza la WDF en el análisis de frecuencia de tiempo.
Señal de entrada constante
Cuando la señal de entrada es constante, su distribución tiempo-frecuencia es una línea horizontal a lo largo del eje del tiempo. Por ejemplo, si x ( t ) = 1, entonces
Señal de entrada sinusoidal
Cuando la señal de entrada es una función sinusoidal, su distribución tiempo-frecuencia es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, desplazada de ella por la frecuencia de la señal sinusoidal. Por ejemplo, si x ( t ) = e i2π kt , entonces
Señal de entrada de chirrido
Cuando la señal de entrada es una función de chirp lineal , la frecuencia instantánea es una función lineal. Esto significa que la distribución de frecuencia de tiempo debe ser una línea recta. Por ejemplo, si
- ,
entonces su frecuencia instantánea es
y su WDF
Señal de entrada delta
Cuando la señal de entrada es una función delta, dado que solo es distinta de cero en t = 0 y contiene componentes de frecuencia infinitos, su distribución de tiempo-frecuencia debe ser una línea vertical a través del origen. Esto significa que la distribución de frecuencia de tiempo de la función delta también debería ser una función delta. Por WDF
La función de distribución de Wigner es más adecuada para el análisis de frecuencia de tiempo cuando la fase de la señal de entrada es de segundo orden o inferior. Para esas señales, WDF puede generar exactamente la distribución de frecuencia de tiempo de la señal de entrada.
Función de vagón
- ,
la función rectangular ⇒
Propiedad de término cruzado
La función de distribución de Wigner no es una transformación lineal. Un término cruzado ("latidos de tiempo") ocurre cuando hay más de un componente en la señal de entrada, análogo en el tiempo a los latidos de frecuencia . [1] En la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner de física ancestral , este término tiene consecuencias físicas importantes y útiles, requeridas para valores de expectativa fieles. Por el contrario, la transformada de Fourier de corta duración no tiene esta característica. Las características negativas de la WDF reflejan el límite de Gabor de la señal clásica y no están físicamente relacionadas con ninguna posible base de la estructura cuántica.
Los siguientes son algunos ejemplos que exhiben la característica de términos cruzados de la función de distribución de Wigner.
Con el fin de reducir la dificultad entre términos, se han propuesto varios enfoques en la literatura, [2] [3] [4] algunos de ellos conducen a nuevas transformaciones como la función de distribución de Wigner modificada , la transformada de Gabor-Wigner , la Choi función de distribución -Williams y distribución de clases de Cohen .
Propiedades de la función de distribución de Wigner
La función de distribución de Wigner tiene varias propiedades evidentes enumeradas en la siguiente tabla.
- Propiedad de proyección
- Propiedad energética
- Propiedad de recuperación
- Frecuencia de condición media y tiempo de condición medio
- Propiedades de momento
- Propiedades reales
- Propiedades de la región
- Teorema de multiplicación
- Teorema de convolución
- Teorema de correlación
- Covarianza temporal
- Covarianza de modulación
- Covarianza de escala
Función de distribución de Wigner con ventana
- Cuando una señal no tiene límite de tiempo, su función de distribución de Wigner es difícil de implementar. Por lo tanto, agregamos una nueva función (máscara) a su parte de integración, de modo que solo tenemos que implementar parte de la función original en lugar de integrar todo el camino desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. Función original: Función con máscara: es real y por tiempo limitado
Implementación
- Según definición:
- Suponer que por por y
- Nosotros tomamos como ejemplo
- dónde es una función real
- Y luego comparamos la diferencia entre dos condiciones.
3 condiciones
- Luego consideramos la condición con función de máscara:
- Podemos ver eso tienen valor sólo entre –B a B, conduciendo así con Puede eliminar el término cruzado de la función. Pero si x (t) no es una función Delta ni una función de frecuencia estrecha, en cambio, es una función con amplia frecuencia u ondulación. El borde de la señal aún puede existir entre –B y B, lo que aún causa el problema de término cruzado.
- por ejemplo:
Ver también
- Representación de frecuencia de tiempo
- Transformada de Fourier de corta duración
- Espectrograma
- Transformada de Gabor
- Autocorrelación
- Transformada de Gabor-Wigner
- Función de distribución de Wigner modificada
- Teorema de equivalencia óptica
- Distribución polinomial de Wigner – Ville
- Función de distribución de clases de Cohen
- Distribución de cuasi-probabilidad de Wigner
- Transformación entre distribuciones en análisis de frecuencia de tiempo
- Distribución bilineal de tiempo-frecuencia
Referencias
- ^ F. Hlawatsch y P. Flandrin, "La estructura de interferencia de la distribución de Wigner y representaciones de señales de tiempo-frecuencia relacionadas", en W. Mecklenbräuker y F. Hlawatsch, The Wigner Distribution - Theory and Applications in Signal Processing
- ^ B. Boashah (Ed.), Análisis y procesamiento de señales de frecuencia de tiempo , Elsevier, 2003
- ^ P. Flandrin, Análisis de tiempo-frecuencia / escala de tiempo , Elsevier, 1998
- ^ RB Pachori y A. Nishad, "Reducción de términos cruzados en la distribución de Wigner-Ville usando la transformada de ondículas Q tunable", Signal Processing 120 (2016) 288-304
Otras lecturas
- Wigner, E. (1932). "Sobre la corrección cuántica para el equilibrio termodinámico" (PDF) . Revisión física . 40 (5): 749–759. Código Bibliográfico : 1932PhRv ... 40..749W . doi : 10.1103 / PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz / 141466 .
- J. Ville , 1948. "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", Câbles et Transmission , 2 , 61-74.
- TACM Classen y WFG Mecklenbrauker, 1980. “La distribución de Wigner, una herramienta para el análisis de señales de tiempo-frecuencia; Parte I ”, Philips J. Res., Vol. 35, págs. 217-250.
- L. Cohen (1989): Proceedings of the IEEE 77 pp. 941–981, Distribuciones de frecuencia de tiempo --- una revisión
- L. Cohen, Análisis de frecuencia de tiempo , Prentice-Hall, Nueva York, 1995. ISBN 978-0135945322
- S. Qian y D. Chen, Análisis conjunto de tiempo-frecuencia: métodos y aplicaciones , cap. 5, Prentice Hall, Nueva Jersey, 1996.
- B. Boashash, "Nota sobre el uso de la distribución Wigner para el análisis de señales de frecuencia de tiempo", Transacciones IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales , vol. 36 , núm. 9, págs. 1518-1521, septiembre de 1988. doi : 10.1109 / 29.90380 . B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de frecuencia de tiempo: una referencia completa , Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4 .
- F. Hlawatsch, GF Boudreaux-Bartels: "Representación lineal y cuadrática de señales de tiempo-frecuencia", IEEE Signal Processing Magazine, págs. 21–67, abril de 1992.
- RL Allen y DW Mills, Análisis de señales: tiempo, frecuencia, escala y estructura , Wiley-Interscience, NJ, 2004.
- RB Pachori y A. Nishad, Reducción de términos cruzados en la distribución de Wigner-Ville usando transformada de ondícula Q sintonizable , Procesamiento de señales, vol. 120, págs. 288-304, 2016.
- Jian-Jiun Ding, análisis de frecuencia de tiempo y notas de clase de transformación de ondas, el Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipei, Taiwán, 2015.
- Kakofengitis, D. y Steuernagel, O. (2017). "Corriente de espacio de fase cuántica de Wigner en sistemas de dos estados débilmente anarmónicos débilmente excitados" European Physical Journal Plus 14.07.2017
- RR Sharma y RB Pachori, enfoque mejorado basado en la descomposición de valores propios para reducir los términos cruzados en la distribución de Wigner-Ville , circuitos, sistemas y procesamiento de señales, 2018.