En la teoría de categorías , los functores monoidales son functores entre categorías monoidales que preservan la estructura monoidal. Más específicamente, un funtor monoidal entre dos categorías monoidales consiste en un funtor entre las categorías, junto con dos mapas de coherencia: una transformación natural y un morfismo que preservan la unidad y la multiplicación monoidal, respectivamente. Los matemáticos requieren estos mapas de coherencia para satisfacer propiedades adicionales dependiendo de cuán estrictamente quieran preservar la estructura monoidal; cada una de estas propiedades da lugar a una definición ligeramente diferente de functores monoidales
- Los mapas de coherencia de los functores monoidales laxos no satisfacen propiedades adicionales; no son necesariamente invertibles.
- Los mapas de coherencia de los functores monoidales fuertes son invertibles.
- Los mapas de coherencia de los functores monoidales estrictos son mapas de identidad.
Aunque distinguimos entre estas diferentes definiciones aquí, los autores pueden llamar a cualquiera de estos simplemente functores monoidales .
Definición
Dejar y Ser categorías monoidales. Un functor monoidal laxo de a (que también puede llamarse simplemente functor monoidal) consta de un funtor junto con una transformación natural
Entre functores y un morfismo
- ,
llamados mapas de coherencia o morfismos de estructura , que son tales que por cada tres objetos, y de los diagramas
- ,
- y
viaje diario en la categoría . Arriba, las diversas transformaciones naturales denotadas usando son partes de la estructura monoidal en y .
Variantes
- El dual de un funtor monoidal es un funtor comonoidal ; es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia están invertidos. Los functores comonoidales también pueden denominarse functores opmonoidales, colax monoidales u oplax monoidales.
- Un funtor monoidal fuerte es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia son invertibles.
- Un funtor monoidal estricto es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia son identidades.
- Un functor monoidal trenzado es un functor monoidal entre categorías monoidales trenzadas (con trenzados denotados) tal que el siguiente diagrama conmuta para cada par de objetos A , B en :
- Un functor monoidal simétrico es un functor monoidal trenzado cuyo dominio y codominio son categorías monoidales simétricas .
Ejemplos de
- El functor subyacente de la categoría de grupos abelianos a la categoría de conjuntos. En este caso, el mapa envía (a, b) a ; el mapa envía a 1.
- Si es un anillo (conmutativo), entonces el functor libre se extiende a un functor fuertemente monoidal (y también Si es conmutativa).
- Si es un homomorfismo de anillos conmutativos, entonces el functor de restricción es monoidal y el functor de inducción es fuertemente monoidal.
- Un ejemplo importante de un funtor monoidal simétrico es el modelo matemático de la teoría de campos cuánticos topológicos , que se ha desarrollado recientemente. Dejarser la categoría de cobordismos de variedades n-1, n- dimensionales con producto tensorial dado por unión disjunta, y unir la variedad vacía. Una teoría de campos cuánticos topológicos en dimensión n es un functor monoidal simétrico
- El functor de homología es monoidal como a través del mapa .
Propiedades
- Si es un objeto monoide en, luego es un objeto monoide en .
Funciones y adjunciones monoidales
Supongamos que un funtor se deja adjunto a un monoidal . Luego tiene una estructura comonoidal Inducido por , definido por
y
- .
Si la estructura inducida en es fuerte, entonces la unidad y el recuento del adjunto son transformaciones naturales monoidales , y se dice que el adjunto es un adjunto monoidal ; a la inversa, el adjunto izquierdo de un adjunto monoidal es siempre un funtor monoidal fuerte.
De manera similar, un adjunto derecho a un functor comonoidal es monoidal, y el adjunto derecho de un adjunto comonoidal es un functor monoidal fuerte.
Ver también
Referencias
- Kelly, G. Max (1974), "Adjunción doctrinal", Lecture Notes in Mathematics , 420 , 257-280