Categoría monoide simétrica

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría monoide simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría en la que se define un "producto tensorial" ) tal que el producto tensorial es simétrico (es decir , en cierto sentido estricto, naturalmente isomorfo ). para todos los objetos y de la categoría). Uno de los ejemplos prototípicos de una categoría monoidal simétrica es la categoría de espacios vectoriales sobre algún campo fijo k, usando el producto tensorial ordinario de espacios vectoriales . ${\ estilo de visualización \ a veces}$${\displaystyle A\oveces B}$${\displaystyle B\otimes A}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización B}$

Una categoría monoide simétrica es una categoría monoidal ( C , ⊗, I ) tal que, para cada par A , B de objetos en C , hay un isomorfismo que es natural tanto en A como en B y tal que los siguientes diagramas conmutan:${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$

En los diagramas anteriores, a , l , r son el isomorfismo de asociatividad, el isomorfismo de la unidad izquierda y el isomorfismo de la unidad derecha, respectivamente.

El espacio de clasificación (realización geométrica del nervio ) de una categoría monoide simétrica es un espacio, por lo que su terminación de grupo es un espacio de bucle infinito . ^[1]${\displaystyle E_{\infty}}$

Una categoría monoide simétrica de daga es una categoría monoide simétrica con una estructura de daga compatible .

En una categoría monoide simétrica, los isomorfismos naturales son sus propios inversos en el sentido de que . Si abandonamos este requisito (pero aún requerimos que sea naturalmente isomorfo a ), obtenemos la noción más general de una categoría monoide trenzada .${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$${\displaystyle A\oveces B}$${\displaystyle B\otimes A}$

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