Representación monomial

En matemáticas , una representación lineal ρ de un grupo G es una representación monomial si hay un subgrupo H de índice finito y una representación lineal unidimensional σ de H , tal que ρ es equivalente a la representación inducida

Ind _H^G σ.

Alternativamente, se puede definir como una representación cuya imagen está en las matrices monomiales .

Aquí, por ejemplo, G y H pueden ser grupos finitos , de modo que la representación inducida tiene un sentido clásico. La representación monomio es sólo un poco más complicada que la representación de permutación de G en las clases laterales de H . Sólo es necesario para realizar un seguimiento de escalares procedentes de σ aplicada a los elementos de H .

Definición

Para definir la representación monomial, primero debemos introducir la noción de espacio monomial. Un espacio monomial es un triple ${\ Displaystyle (V, X, (V_ {x}) _ {x \ in X})}$ donde ${\ Displaystyle V}$ es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, ${\ Displaystyle X}$ es un conjunto finito y ${\ Displaystyle (V_ {x}) _ {x \ in X}}$ es una familia de subespacios unidimensionales de ${\ Displaystyle V}$ tal que ${\ Displaystyle V = \ oplus _ {x \ in X} V_ {x}}$ .

Ahora deja ${\ Displaystyle G}$ ser un grupo, la representación monomial de ${\ Displaystyle G}$ en ${\ Displaystyle V}$ es un homomorfismo grupal ${\ Displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ tal que para cada elemento ${\ Displaystyle g \ in G}$ , ${\ Displaystyle \ rho (g)}$ permuta el ${\ Displaystyle V_ {x}}$ es, esto significa que ${\ Displaystyle \ rho}$ induce una acción por permutación de ${\ Displaystyle G}$ en ${\ Displaystyle X}$ .

Referencias

"Representación monomial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Karpilovsky, Gregory (1985). Representaciones proyectivas de grupos finitos . M. Dekker. ISBN 978-0-8247-7313-7.

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