En la teoría de grupos , la representación inducida es una representación de un grupo , G , que se construye utilizando una representación conocida de un subgrupo H . Dada una representación de H , la representación inducida es, en cierto sentido, la representación "más general" de G que extiende la dada. Dado que a menudo es más fácil encontrar representaciones del grupo H más pequeño que de G , la operación de formar representaciones inducidas es una herramienta importante para construir nuevas representaciones .
Las representaciones inducidas fueron definidas inicialmente por Frobenius , para representaciones lineales de grupos finitos . La idea no se limita de ninguna manera al caso de grupos finitos, pero la teoría en ese caso se comporta particularmente bien.
Construcciones
Algebraico
Deje que G sea un grupo finito y H cualquier subgrupo de G . Además dejar ( π , V ) ser una representación de H . Deje que n = [ G : H ] sea el índice de H en G y dejar que g 1 , ..., g n sea un conjunto completo de representantes en G de las clases laterales izquierda en G / H . La representación inducida IndG
H Se puede pensar que π actúa sobre el siguiente espacio:
Aquí cada g i V es un isomorfo copia del espacio vectorial V cuyos elementos están escritos como g i V con v ∈ V . Para cada g en G y cada g i hay una h i en H y j ( i ) en {1, ..., n } tal que g g i = g j (i) h i . (Esta es solo otra forma de decir que g 1 , ..., g n es un conjunto completo de representantes). A través de la representación inducida, G actúa sobre W de la siguiente manera:
dónde para cada i .
Alternativamente, se pueden construir representaciones inducidas usando el producto tensorial : cualquier K- representación linealdel grupo H puede verse como un módulo V sobre el anillo de grupo K [ H ]. Entonces podemos definir
Esta última fórmula también se puede utilizar para definir IndG
H π para cualquier grupo G y subgrupo H , sin requerir finitud. [1]
Ejemplos de
Para cualquier grupo, la representación inducida de la representación trivial del subgrupo trivial es el derecho representación regular . De manera más general, la representación inducida de la representación trivial de cualquier subgrupo es la representación de permutación en las clases laterales de ese subgrupo.
Una representación inducida de una representación unidimensional se llama representación monomial , porque puede representarse como matrices monomiales . Algunos grupos tienen la propiedad de que todas sus representaciones irreductibles son monomiales, los llamados grupos monomiales .
Propiedades
Si H es un subgrupo del grupo G , entonces cada K -representación lineal ρ de G puede verse como una K -representación lineal de H ; esto se conoce como la restricción de ρ a H y se denota por Res (ρ) . En el caso de grupos finitos y representaciones de dimensión finita, el teorema de reciprocidad de Frobenius establece que, dadas las representaciones σ de H y ρ de G , el espacio de H - mapas lineales equivariantes de σ a Res ( ρ ) tiene la misma dimensión sobre K como el de los mapas lineales G -equivariantes de Ind ( σ ) a ρ . [2]
La propiedad universal de la representación inducida, que también es válida para grupos infinitos, es equivalente a la adjunción afirmada en el teorema de reciprocidad. Sies una representación de H yes la representación de G inducida por, entonces existe un mapa lineal H -equariantecon la siguiente propiedad: dada cualquier representación (ρ, W ) de G y H - mapa lineal equivariante, hay un mapa lineal G -equariante único con . En otras palabras,es el mapa único que hace que el siguiente diagrama viaje al trabajo : [3]
La fórmula de Frobenius establece que si χ es el carácter de la representación σ , dado por χ ( h ) = Tr σ ( h ) , entonces el carácter ψ de la representación inducida está dado por
donde la suma se toma sobre un sistema de representantes de las clases laterales izquierdas de H en G y
Analítico
Si G es un grupo topológico localmente compacto (posiblemente infinito) y H es un subgrupo cerrado, entonces existe una construcción analítica común de la representación inducida. Deje ( π , V ) sea una continua representación unitaria de H en un espacio de Hilbert V . Entonces podemos dejar:
Aquí φ∈ L 2 ( G / H ) significa: el espacio G / H tiene una medida invariante adecuada, y dado que la norma de φ ( g ) es constante en cada clase lateral izquierda de H , podemos integrar el cuadrado de estas normas sobre G / H y obtener un resultado finito. El grupo G actúa sobre el espacio de representación inducido por traslación, es decir, ( g .φ) ( x ) = φ ( g −1 x ) para g, x ∈ G y φ∈IndG
H π .
Esta construcción a menudo se modifica de varias formas para adaptarse a las aplicaciones necesarias. Una versión común se llama inducción normalizada y generalmente usa la misma notación. La definición del espacio de representación es la siguiente:
Aquí Δ G , Δ H son las funciones modulares de G y H respectivamente. Con la adición de los factores normalizadores , este funtor de inducción lleva representaciones unitarias a representaciones unitarias.
Otra variación de la inducción se llama inducción compacta . Esto es solo una inducción estándar restringida a funciones con soporte compacto . Formalmente se denota por ind y se define como:
Tenga en cuenta que si G / H es compacto, Ind e ind son el mismo funtor.
Geométrico
Supongamos que G es un grupo topológico y H es un cerrado subgrupo de G . También, supongamos que π es una representación de H sobre el espacio vectorial V . Entonces G actúa sobre el producto G × V de la siguiente manera:
donde g y g ' son elementos de G y x es un elemento de V .
Definir en G × V la relación de equivalencia
Denote la clase de equivalencia de por . Tenga en cuenta que esta relación de equivalencia es invariante bajo la acción de G ; en consecuencia, G actúa sobre ( G × V ) / ~ . Este último es un paquete de vectores sobre el espacio cociente G / H con H como grupo de estructura y V como fibra. Sea W el espacio de las seccionesde este paquete de vectores. Este es el espacio vectorial subyacente a la representación inducida IndG
H π . El grupo G actúa sobre una sección dada por como sigue:
Sistemas de imprimibilidad
En el caso de representaciones unitarias de grupos localmente compactos, la construcción de inducción se puede formular en términos de sistemas de imprimibilidad .
Teoría de la mentira
En la teoría de Lie , un ejemplo extremadamente importante es la inducción parabólica : inducir representaciones de un grupo reductivo a partir de representaciones de sus subgrupos parabólicos . Esto conduce, a través de la filosofía de las formas de las cúspides , al programa Langlands .
Ver también
- Representación restringida
- Realización no lineal
- Fórmula del carácter de Frobenius
Notas
- ↑ Brown, Cohomology of Groups, III.5
- ^ Serre, Jean-Pierre (1926-1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385 .
- ^ Thm. 2.1 de Miller, Alison. "Matemáticas 221: notas de álgebra 20 de noviembre" . Archivado desde el original el 1 de agosto de 2018 . Consultado el 1 de agosto de 2018 .
Referencias
- Alperin, JL ; Rowen B. Bell (1995). Grupos y Representaciones . Springer-Verlag . pp. 164 -177. ISBN 0-387-94526-1.
- Folland, GB (1995). Un curso de análisis armónico abstracto . Prensa CRC . pp. 151 -200. ISBN 0-8493-8490-7.
- Kaniuth, E .; Taylor, K. (2013). Representaciones inducidas de grupos localmente compactos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780521762267.
- Mackey, GW (1951), "Sobre representaciones inducidas de grupos", American Journal of Mathematics , 73 (3): 576–592, doi : 10.2307 / 2372309 , JSTOR 2372309
- Mackey, GW (1952), "Representaciones inducidas de grupos compactos localmente I", Annals of Mathematics , 55 (1): 101-139, doi : 10.2307 / 1969423 , JSTOR 1969423
- Mackey, GW (1953), "Representaciones inducidas de grupos localmente compactos II: el teorema de reciprocidad de Frobenius", Annals of Mathematics , 58 (2): 193-220, doi : 10.2307 / 1969786 , JSTOR 1969786
- Sengupta, Ambar N. (2012). "Capítulo 8: Representaciones inducidas". Representación de grupos finitos, una introducción semimpleta . Saltador. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967 .
- Varadarajan, VS (2007). "Capítulo VI: Sistemas de Impritividad". Geometría de la teoría cuántica . Saltador. ISBN 978-0-387-49385-5.