Representación de permutación

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En matemáticas , el término representación de permutación de un grupo (típicamente finito) puede referirse a cualquiera de dos nociones estrechamente relacionadas: una representación de como un grupo de permutaciones o como un grupo de matrices de permutación . El término también se refiere a la combinación de los dos.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Una representación de permutación de un grupo en un conjunto es un homomorfismo del grupo simétrico de :${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

La imagen es un grupo de permutación y los elementos de se representan como permutaciones de . ^[1] Una representación de permutación es equivalente a una acción de sobre el conjunto :${\ Displaystyle \ rho (G) \ subset \ operatorname {Sym} (X)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

Si es un grupo de permutación de grado , entonces la representación de permutación de es la representación lineal de${\ Displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

que se asigna a la matriz de permutación correspondiente (aquí hay un campo arbitrario ). ^[2] Es decir, actúa permutando los vectores base estándar.${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K^{n}}$

Esta noción de una representación de permutación puede, por supuesto, componerse con la anterior para representar un grupo abstracto arbitrario como un grupo de matrices de permutación. Primero se representa como un grupo de permutación y luego se asigna cada permutación a la matriz correspondiente. Representando como un grupo de permutación que actúa sobre sí mismo por traducción , se obtiene la representación regular . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

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