Multiplicación de puntos de curva elíptica
La multiplicación escalar de la curva elíptica es la operación de agregar sucesivamente un punto a lo largo de una curva elíptica a sí misma repetidamente. Se utiliza en criptografía de curva elíptica (ECC) como un medio para producir una función unidireccional . La literatura presenta esta operación como una multiplicación escalar , escrita en forma hessiana de una curva elíptica . Un nombre generalizado para esta operación es también multiplicación de puntos de curva elíptica , pero esto puede dar la impresión errónea de ser una multiplicación entre dos puntos.
Dada una curva, E , definida a lo largo de alguna ecuación en un campo finito (como E : y 2 = x 3 + ax + b ), la multiplicación de puntos se define como la suma repetida de un punto a lo largo de esa curva. Denotar como nP = P + P + P + ... + P para algunos escalar (número entero) n y un punto P = ( x , y ) que se encuentra en la curva, E . Este tipo de curva se conoce como curva de Weierstrass.
La seguridad de la ECC moderna depende de la imposibilidad de determinar n a partir de Q = nP dados los valores conocidos de Q y P si n es grande (conocido como problema de logaritmo discreto de curva elíptica por analogía con otros sistemas criptográficos ). Esto se debe a que la suma de dos puntos en una curva elíptica (o la adición de un punto a sí misma) produce un tercer punto en la curva elíptica cuya ubicación no tiene una relación inmediatamente obvia con las ubicaciones de los dos primeros, y esto se repite muchas veces. sobre rinde un punto nPque puede estar esencialmente en cualquier lugar. Intuitivamente, esto no es diferente al hecho de que si tuvieras un punto P en un círculo, agregar 42.57 grados a su ángulo puede ser un punto "no muy lejos" de P , pero agregar 1000 o 1001 veces 42.57 grados producirá un punto que requiere un cálculo un poco más complejo para ser encontrado. Por lo tanto, revertir este proceso, es decir, dado Q = nP y P y determinar n , sólo puede hacerse probando todos los n posibles, un esfuerzo que es computacionalmente intratable si n es grande.
Hay tres operaciones comúnmente definidas para puntos de curvas elípticas: suma, duplicación y negación.
El punto en el infinito es el elemento de identidad de la aritmética de curvas elípticas. Agregarlo a cualquier punto da como resultado ese otro punto, incluido agregar un punto en el infinito a sí mismo. Es decir:
La negación del punto es encontrar un punto tal, que agregarlo a sí mismo dará como resultado un punto en el infinito ( ).
