En matemáticas , la multiplicación escalar es una de las operaciones básicas que definen un espacio vectorial en álgebra lineal [1] [2] [3] (o más generalmente, un módulo en álgebra abstracta [4] [5] ). En contextos geométricos comunes, la multiplicación escalar de un vector euclidiano real por un número real positivo multiplica la magnitud del vector, sin cambiar su dirección. El término " escalar " en sí mismo se deriva de este uso: un escalar es lo que escalavectores. La multiplicación escalar es la multiplicación de un vector por un escalar (donde el producto es un vector) y debe distinguirse del producto interno de dos vectores (donde el producto es un escalar).
Definición
En general, si K es un campo y V es un espacio vectorial sobre K , entonces la multiplicación escalar es una función de K × V a V . El resultado de aplicar esta función a k en K y v en V se denota k v . [6]
Propiedades
La multiplicación escalar obedece a las siguientes reglas (vector en negrita ) :
- Aditividad en el escalar: ( c + d ) v = c v + d v ;
- Aditividad en el vector: c ( v + w ) = c v + c w ;
- Compatibilidad del producto de escalares con multiplicación escalar: ( cd ) v = c ( d v );
- Multiplicar por 1 no cambia un vector: 1 v = v ;
- Al multiplicar por 0 se obtiene el vector cero : 0 v = 0 ;
- Multiplicar por −1 da el inverso aditivo : (−1) v = - v .
Aquí, + es una adición en el campo o en el espacio vectorial, según corresponda; y 0 es la identidad aditiva en cualquiera. La yuxtaposición indica una multiplicación escalar o la operación de multiplicación en el campo.
Interpretación
La multiplicación escalar puede verse como una operación binaria externa o como una acción del campo en el espacio vectorial. Una interpretación geométrica de la multiplicación escalar es que estira o contrae los vectores por un factor constante. Como resultado, produce un vector en la misma dirección u opuesta al vector original pero de diferente longitud. [7]
Como caso especial, V puede tomarse como el propio K y la multiplicación escalar puede entonces tomarse como simplemente la multiplicación en el campo.
Cuando V es K n , la multiplicación escalar es equivalente a la multiplicación de cada componente con el escalar, y puede definirse como tal.
La misma idea se aplica si K es un anillo conmutativo y V es un módulo sobre K . K incluso puede ser un aparejo , pero entonces no hay inverso aditivo. Si K no es conmutativa , se pueden definir las distintas operaciones de multiplicación escalar izquierda c v y multiplicación escalar derecha v c .
Multiplicación escalar de matrices
La multiplicación escalar la izquierda de una matriz A con un escalar λ da otra matriz del mismo tamaño que A . Se denota por λ A , [6] cuyas entradas de λ A están definidas por
explícitamente:
De manera similar, la multiplicación escalar derecha de una matriz A con un escalar λ se define como
explícitamente:
Cuando el anillo subyacente es conmutativo , por ejemplo, el campo numérico real o complejo , estas dos multiplicaciones son iguales y simplemente se denominan multiplicación escalar . Sin embargo, para las matrices sobre un anillo más general que no son conmutativas, como los cuaterniones , pueden no ser iguales.
Para un escalar y una matriz reales:
Para escalares y matrices de cuaterniones:
donde i , j , k son las unidades de cuaterniones. La no conmutatividad de la multiplicación de cuaterniones evita la transición de cambiar ij = + k a ji = - k .
Ver también
- Producto escalar
- Multiplicación de matrices
- Multiplicación de vectores
- Producto (matemáticas)
Referencias
- ^ Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3ª ed.). Addison – Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
- ^ Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
- ^ Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
- ^ a b "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Multiplicación escalar" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .