En la teoría de conjuntos axiomáticos , una disciplina matemática, un pantano es una estructura combinatoria infinita, que se utiliza para crear estructuras "grandes" a partir de un número "pequeño" de aproximaciones "pequeñas". Fueron inventados por Ronald Jensen para su demostración de que los teoremas de transferencia cardinal se mantienen bajo el axioma de la constructibilidad . Velleman introdujo una variante mucho menos compleja pero equivalente conocida como pantano simplificado , y el término pantano ahora se usa a menudo para referirse a estas estructuras más simples.
Descripción general
Si bien es posible definir los llamados gap- n morasses para n > 1, son tan complejos que el enfoque generalmente se limita al caso gap-1, excepto para aplicaciones específicas. El "espacio" es esencialmente la diferencia cardinal entre el tamaño de las "pequeñas aproximaciones" utilizadas y el tamaño de la estructura última.
Un pantano (gap-1) en un incontable cardinal regular κ (también llamado un ( κ , 1 ) -morass ) consiste en un árbol de altura κ + 1, con el nivel superior que tiene κ + -muchos nodos. Los nodos se toman como ordinales y las funciones π entre estos ordinales se asocian a los bordes en el orden del árbol. Se requiere que la estructura ordinal de los nodos de nivel superior se "construya" como el límite directo de los ordinales en la rama a ese nodo por los mapas π, por lo que los nodos de nivel inferior se pueden considerar como aproximaciones al (mayor ) nodo de nivel superior. Se impone una larga lista de axiomas adicionales para que esto suceda de una manera particularmente "agradable". [1] [2]
Variantes y equivalentes
Velleman [2] y Shelah y Stanley [3] desarrollaron de forma independiente axiomas de forzamiento equivalentes a la existencia de morasses, para facilitar su uso por parte de no expertos. Yendo más allá, Velleman [4] mostró que la existencia de pantanos es equivalente a pantanos simplificados , que son estructuras mucho más simples. Sin embargo, la única construcción conocida de un pantano simplificado en el universo construible de Gödel es mediante pantanos, por lo que la noción original conserva interés.
A lo largo de los años también han aparecido otras variantes de morasses, generalmente con estructura añadida. Estos incluyen pantanos universales, [5] mediante los cuales cada subconjunto de κ se construye a través de las ramas del pantano, manglares, [6] que son pantanos estratificados en niveles ( mangals ) en los que cada rama debe tener un nodo, y pantanos . [7]
Pantano simplificado
Velleman [8] definió morasses gap-1 simplificados que son mucho más simples que los morasses gap-1, y mostró que la existencia de morasses gap-1 es equivalente a la existencia de morasses gap-1 simplificados.
En términos generales: a ( κ , 1) - pantano simplificado M = <φ → , F ⇒ > contiene una secuencia φ → = <φ β : β ≤ κ > de ordinales tal que φ β < κ para β < κ y φ κ = κ + , y una secuencia doble F ⇒ = < F α , β : α < β ≤ κ > donde F α , β son colecciones de mapeos monótonos de φ α a φ β para α < β ≤ κ con específico (fácil pero importantes) condiciones.
La clara definición de Velleman se puede encontrar en, [9] donde también construyó (ω 0 , 1) morasses simplificados en ZFC . En [10] dio definiciones sencillas similares para los morasses simplificados gap-2 , y en [11] construyó (ω 0 , 2) morasses simplificados en ZFC .
Morgan [12] y Szalkai, definieron morasses simplificados con brecha más alta para cualquier n ≥ 1 . [13] [14]
En términos generales: a ( κ , n + 1) - pantano simplificado (de Szalkai) M = < M → , F ⇒ > contiene una secuencia M → = < M β : β ≤ κ > de (< κ , n ) -simplificado Estructuras en forma de pantano para β < κ y M κ a ( κ + , n ) - pantano simplificado, y una secuencia doble F ⇒ = < F α, β : α < β ≤ κ> donde F α , β son colecciones de mapeos de M α a M β para α < β ≤ κ con condiciones específicas.
Referencias
- ^ K. Devlin. Constructibilidad . Springer, Berlín, 1984.
- ↑ a b Velleman, Daniel J. (1982). "Morasses, Diamond y Forcing" . Ana. Matemáticas. Lógica . 23 : 199-281. doi : 10.1016 / 0003-4843 (82) 90005-5 . Zbl 0521.03034 .
- ^ S. Shelah y L. Stanley. Forzamiento S, I: Un teorema de "caja negra" para morasses, con aplicaciones: árboles Super-Souslin y generalización del axioma de Martin, Israel Journal of Mathematics , 43 (1982), págs. 185-224.
- ^ Velleman, Dan (1984). "Morasses simplificado". Revista de lógica simbólica . 49 (1): 257–271. doi : 10.2307 / 2274108 . Zbl 0575.03035 .
- ^ K. Devlin. Aspectos de la constructibilidad , Lecture Notes in Mathematics 354, Springer, Berlín, 1973.
- ^ Brooke-Taylor, A .; Friedman, S. (2009). "Grandes cardenales y morasses gap-1". Anales de lógica pura y aplicada . 159 (1–2): 71–99. arXiv : 0801.1912 . doi : 10.1016 / j.apal.2008.10.007 . Zbl 1165.03033 .
- ^ Kanamori, Akihiro (1983). "Morasses en teoría combinatoria de conjuntos". En Mathias, ARD (ed.). Encuestas en teoría de conjuntos . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 87 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 167–196. ISBN 0-521-27733-7. Zbl 0525.03036 .
- ^ D. Velleman. Morasses simplificado, Journal of Symbolic Logic 49 , No. 1 (1984), págs. 257–271.
- ^ D. Velleman. Morasses simplificado, Journal of Symbolic Logic 49 , No. 1 (1984), págs. 257–271.
- ^ D. Velleman. Morasses Gap-2 simplificado, Annals of Pure and Applied Logic 34 , (1987), págs. 171–208.
- ^ D. Velleman. Gap-2 Morasses of Height ω 0 , Journal of Symbolic Logic 52 , (1987), págs. 928–938.
- ^ Cap. Morgan. The Equivalence of Morasses and Simplified Morasses in the Finite Gap Case , Tesis doctoral, Merton College, Reino Unido, 1989.
- ^ I. Szalkai. Higher Gap Simplified Morasses and Combinatorial Applications , PhD-Thesis (en húngaro), ELTE, Budapest, 1991. Resumen en inglés: http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Szalkai-1991d-MorassAbst-.pdf
- ^ I. Szalkai. Una definición inductiva de Morasses simplificados con brechas más altas, Publicationes Mathematicae Debrecen 58 (2001), págs. 605–634. http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Szalkai-2001a-IndMorass.pdf