Los métodos de Monte Carlo multinivel (MLMC) en análisis numérico son algoritmos para calcular las expectativas que surgen en las simulaciones estocásticas . Al igual que los métodos de Monte Carlo , se basan en un muestreo aleatorio repetido , pero estas muestras se toman con diferentes niveles de precisión. Los métodos MLMC pueden reducir en gran medida el costo computacional de los métodos estándar de Monte Carlo al tomar la mayoría de las muestras con una precisión baja y el correspondiente bajo costo, y solo se toman muy pocas muestras con alta precisión y el correspondiente alto costo.
Objetivo
El objetivo de un método Monte Carlo multinivel es aproximar el valor esperado de la variable aleatoria esa es la salida de una simulación estocástica . Suponga que esta variable aleatoria no se puede simular exactamente, pero hay una secuencia de aproximaciones con una precisión cada vez mayor, pero también un costo creciente, que converge a como . La base del método multinivel es la identidad de suma telescópica , [1]
que se satisface trivialmente debido a la linealidad del operador de expectativa. Cada una de las expectativasluego se aproxima mediante un método de Monte Carlo, lo que da como resultado el método de Monte Carlo multinivel. Tenga en cuenta que tomando una muestra de la diferenciaa nivel requiere una simulación de ambos y .
El método MLMC funciona si las variaciones como , que será el caso si ambos y aproximar la misma variable aleatoria . Según el teorema del límite central , esto implica que se necesitan cada vez menos muestras para aproximar con precisión la expectativa de la diferencia. como . Por lo tanto, la mayoría de las muestras se tomarán a nivel, donde las muestras son baratas, y solo se requerirán muy pocas muestras al mejor nivel . En este sentido, MLMC puede considerarse como una estrategia de variante de control recursivo .
Aplicaciones
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Multilevel_monte_carlo_sample_paths_for_an_SDE.png/220px-Multilevel_monte_carlo_sample_paths_for_an_SDE.png)
La primera aplicación de MLMC se atribuye a Mike Giles, [2] en el contexto de las ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) para la fijación de precios de opciones , sin embargo, se encuentran rastros anteriores en el trabajo de Heinrich en el contexto de la integración paramétrica. [3] Aquí, la variable aleatoria se conoce como la función de pago y la secuencia de aproximaciones , utilizar una aproximación a la ruta de la muestra con paso de tiempo .
La aplicación de MLMC a problemas de cuantificación de incertidumbre (UQ) es un área activa de investigación. [4] [5] Un ejemplo prototípico importante de estos problemas son las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) con coeficientes aleatorios . En este contexto, la variable aleatoriase conoce como la cantidad de interés, y la secuencia de aproximaciones corresponde a una discretización del PDE con diferentes tamaños de malla.
Un algoritmo para simulación MLMC
Un algoritmo de adaptación de nivel simple para la simulación MLMC se proporciona a continuación en pseudocódigo.
repetir Tomar muestras de calentamiento al nivel Calcule la varianza de la muestra en todos los niveles Definir el número óptimo de muestras en todos los niveles Tome muestras adicionales en cada nivel de acuerdo a Si luego Prueba de convergencia final si no convergió entonces terminar hasta converger
Extensiones de MLMC
Extensiones recientes del método Monte Carlo multinivel incluyen Monte Carlo multi-índice, [6] donde se considera más de una dirección de refinamiento, y la combinación de MLMC con el método Quasi-Monte Carlo . [7] [8]
Ver también
Referencias
- ^ Giles, MB (2015). "Métodos Monte Carlo multinivel". Acta Numerica . 24 : 259–328. arXiv : 1304.5472 . doi : 10.1017 / s096249291500001x .
- ^ Giles, MB (2008). "Simulación de ruta de Monte Carlo multinivel" . Investigación operativa . 56 (3): 607–617. CiteSeerX 10.1.1.121.713 . doi : 10.1287 / opre.1070.0496 .
- ^ Heinrich, S. (2001). "Métodos Monte Carlo multinivel". Apuntes de clase en Ciencias de la Computación (Métodos Multigrid) . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. Saltador. 2179 : 58–67. doi : 10.1007 / 3-540-45346-6_5 . ISBN 978-3-540-43043-8.
- ^ Cliffe, A .; Giles, MB; Scheichl, R .; Teckentrup, A. (2011). "Métodos y aplicaciones de Monte Carlo multinivel a PDE elípticas con coeficientes aleatorios" (PDF) . Computación y visualización en ciencia . 14 (1): 3–15. doi : 10.1007 / s00791-011-0160-x .
- ^ Pisaroni, M .; Nobile, FB; Leyland, P. (2017). "Un método de continuación de Monte Carlo de niveles múltiples para la cuantificación de la incertidumbre en aerodinámica invisible compresible" (PDF) . Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas . 326 (C): 20–50. doi : 10.1016 / j.cma.2017.07.030 . Archivado desde el original (PDF) el 14 de febrero de 2018.
- ^ Haji-Ali, AL; Nobile, F .; Tempone, R. (2016). "Monte Carlo de índice múltiple: cuando la escasez se encuentra con el muestreo". Numerische Mathematik . 132 (4): 767–806. arXiv : 1405.3757 . doi : 10.1007 / s00211-015-0734-5 .
- ^ Giles, MB; Waterhouse, B. (2009). "Simulación de ruta cuasi-Monte Carlo multinivel" (PDF) . Modelización financiera avanzada, serie de radón sobre matemáticas aplicadas y computacionales . De Gruyter: 165–181.
- ^ Robbe, P .; Nuyens, D .; Vandewalle, S. (2017). "Un algoritmo cuasi-Monte Carlo de índices múltiples para problemas de difusión lognormal". Revista SIAM de Computación Científica . 39 (5): A1811 – C392. arXiv : 1608.03157 . doi : 10.1137 / 16M1082561 .