Análisis multiresolución

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Un análisis multiresolución ( MRA ) o aproximación multiescala ( MSA ) es el método de diseño de la mayoría de las transformadas wavelet discretas (DWT) prácticamente relevantes y la justificación del algoritmo de la transformada wavelet rápida (FWT). Fue introducido en este contexto en 1988/89 por Stéphane Mallat e Yves Meyer y tiene predecesores en el análisis microlocal en la teoría de ecuaciones diferenciales ( método de planchado ) y en los métodos piramidales de procesamiento de imágenes .presentado en 1981/83 por Peter J. Burt, Edward H. Adelson y James L. Crowley .

Un análisis multiresolución del espacio de Lebesgue consta de una secuencia de subespacios anidados${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

que satisface ciertas relaciones de autosemejanza en tiempo-espacio y escala-frecuencia, así como relaciones de completitud y regularidad.

En el caso de una función de escala continua (o al menos con variación acotada) soportada de forma compacta con desplazamientos ortogonales, se pueden hacer varias deducciones. La prueba de la existencia de esta clase de funciones se debe a Ingrid Daubechies .

Suponiendo que la función de escala tiene soporte compacto, implica que existe una secuencia finita de coeficientes para , y para , tal que${\ Displaystyle V_ {0} \ subconjunto V_ {-1}}$${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$${\displaystyle |k|\leq N}$${\displaystyle a_{k}=0}$${\displaystyle |k|>N}$

se puede demostrar que el espacio , que se define como el casco lineal (cerrado) de los desplazamientos enteros de la wavelet madre, es el complemento ortogonal del interior . ^[1] O dicho de otra manera, es la suma ortogonal (denotada por ) de y . Por autosimilitud, hay versiones escaladas y por completitud uno tiene${\ Displaystyle W_ {0} \ subconjunto V_ {-1}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{-1}}$${\displaystyle V_{-1}}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle W_{0}}$

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