La Transformada Rápida de Ondas es un algoritmo matemático diseñado para convertir una forma de onda o señal en el dominio del tiempo en una secuencia de coeficientes basados en una base ortogonal de pequeñas ondas finitas o ondículas . La transformación se puede extender fácilmente a señales multidimensionales, como imágenes, donde el dominio del tiempo se reemplaza con el dominio del espacio. Este algoritmo fue introducido en 1989 por Stéphane Mallat . [1]
Tiene como fundamento teórico el dispositivo de un análisis multirresolución ortogonal (ARM) , de generación finita . En los términos que se dan allí, se selecciona una escala de muestreo J con una frecuencia de muestreo de 2 J por intervalo unitario, y se proyecta la señal f dada en el espacio.; en teoría calculando los productos escalares
dónde es la función de escala de la transformada de ondícula elegida; en la práctica mediante cualquier procedimiento de muestreo adecuado con la condición de que la señal esté muy sobremuestreada, por lo que
es la proyección ortogonal o al menos una buena aproximación de la señal original en.
El MRA se caracteriza por su secuencia de escalado
- o, como transformada Z ,
y su secuencia de ondículas
- o
(algunos coeficientes pueden ser cero). Aquellos permiten calcular los coeficientes de wavelet., al menos algún rango k = M, ..., J-1 , sin tener que aproximar las integrales en los productos escalares correspondientes. En cambio, uno puede directamente, con la ayuda de operadores de convolución y diezmado, calcular esos coeficientes a partir de la primera aproximación.
Adelante DWT
Para la transformada de ondículas discretas (DWT), se calcula de forma recursiva , comenzando con la secuencia de coeficientesy contando desde k = J-1 hasta algunos M
- o
y
- o ,
para k = J-1, J-2, ..., M y todos. En la notación de transformada Z:
- El operador de submuestreo reduce una secuencia infinita, dada por su transformada Z , que es simplemente una serie de Laurent , a la secuencia de los coeficientes con índices pares,.
- El polinomio de Laurent estrellado denota el filtro adjunto , tiene coeficientes adjuntos invertidos en el tiempo ,. (El adjunto de un número real es el número mismo, de un número complejo su conjugado, de una matriz real la matriz transpuesta, de una matriz compleja su adjunto hermitiano).
- La multiplicación es la multiplicación de polinomios, que equivale a la convolución de las secuencias de coeficientes.
Resulta que
es la proyección ortogonal de la señal original fo al menos de la primera aproximaciónen el subespacio , es decir, con una frecuencia de muestreo de 2 k por intervalo unitario. La diferencia con la primera aproximación viene dada por
- ,
donde la diferencia o las señales de detalle se calculan a partir de los coeficientes de detalle como
- ,
con que denota la ondícula madre de la transformada ondícula.
DWT inverso
Dada la secuencia de coeficientes para algunos M
- o
para k = J-1, J-2, ..., M y todos. En la notación de transformada Z:
- El operador de muestreo superior crea agujeros llenos de cero dentro de una secuencia determinada. Es decir, cada segundo elemento de la secuencia resultante es un elemento de la secuencia dada, cada segundo elemento es cero o. Este operador lineal es, en el espacio de Hilbert , el adjunto al operador de submuestreo .
Ver también
Referencias
- ^ "Algoritmo de transformación rápida Wavelet (FWT)" . MathWorks . Consultado el 20 de febrero de 2018 .
- SG Mallat "Una teoría para la descomposición de señales de resolución múltiple: la representación de ondas" Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas, vol. 2, no. 7. Julio de 1989.
- Un proceso de diseño PR-QMF subóptimo sin multiplicador Akansu . SPIE 1818, Comunicaciones visuales y procesamiento de imágenes, p. 723, noviembre de 1992
- AN Akansu Multiplierless 2-band Perfect Reconstruction Quadrature Mirror Filter (PR-QMF) Bancos Patente de EE. UU. 5,420,891, 1995
- AN Akansu Filtros de espejo en cuadratura PR sin multiplicador para codificación de imágenes de subbanda IEEE Trans. Procesamiento de imágenes, pág. 1359, septiembre de 1996
- MJ Mohlenkamp, MC Pereyra Wavelets, sus amigos y lo que pueden hacer por usted (EMS 2008) p. 38
- BB Hubbard El mundo según Wavelets: La historia de una técnica matemática en proceso (1998 Peters) p. 184
- SG Mallat Un recorrido Wavelet por el procesamiento de señales (1999 Academic Press) p. 255
- A. Procesamiento de señales computacionales de Teolis con wavelets (1998 Birkhäuser) p. 116
- Y. Nievergelt Wavelets Made Easy (1999 Springer) p. 95
Otras lecturas
G. Beylkin , R. Coifman , V. Rokhlin , "Transformaciones de ondas rápidas y algoritmos numéricos" Comm. Pure Appl. Matemáticas. , 44 (1991) págs. 141-183 doi : 10.1002 / cpa.3160440202 (Este artículo ha sido citado más de 2400 veces).