La función de Green multiescala (MSGF) es una versión generalizada y extendida de la técnica clásica de la función de Green (GF) [1] para resolver ecuaciones matemáticas. La principal aplicación de la técnica MSGF es el modelado de nanomateriales . [2] Estos materiales son muy pequeños, del tamaño de unos pocos nanómetros . El modelado matemático de nanomateriales requiere técnicas especiales y ahora se reconoce que es una rama independiente de la ciencia. [3]Se necesita un modelo matemático para calcular los desplazamientos de átomos en un cristal en respuesta a una fuerza estática o dependiente del tiempo aplicada con el fin de estudiar las propiedades mecánicas y físicas de los nanomateriales. Un requisito específico de un modelo para nanomateriales es que el modelo debe ser multiescala y proporcionar un enlace perfecto de diferentes escalas de longitud. [4]
La función de Green (GF) fue formulada originalmente por el físico matemático británico George Green en el año 1828 como una técnica general para la solución de ecuaciones de operador. [1] Se ha utilizado ampliamente en física matemática durante los últimos casi doscientos años y se ha aplicado a una variedad de campos. [1] [5] Reseñas de algunas aplicaciones de GF, como para muchas teorías corporales y ecuaciones de Laplace, están disponibles en Wikipedia. Las técnicas basadas en GF se utilizan para modelar varios procesos físicos en materiales como fonones , [6] Estructura de banda electrónica [7] y elastostáticos . [5]
Aplicación del método MSGF para modelar nanomateriales
El método MSGF es una técnica GF relativamente nueva para el modelado matemático de nanomateriales. Los modelos matemáticos se utilizan para calcular la respuesta de los materiales a una fuerza aplicada con el fin de simular sus propiedades mecánicas. La técnica MSGF vincula diferentes escalas de longitud en el modelado de nanomateriales. [2] [8] Los nanomateriales son de dimensiones atomísticas y deben modelarse a escalas de longitud de nanómetros. Por ejemplo, un nanoalambre de silicio , cuyo ancho es de unos cinco nanómetros, contiene solo de 10 a 12 átomos en todo su ancho. Otro ejemplo es el grafeno [9] y muchos nuevos sólidos bidimensionales (2D). [10] Estos nuevos materiales son lo último en delgadez porque tienen solo uno o dos átomos de espesor. El modelado multiescala es necesario para tales materiales porque sus propiedades están determinadas por la discreción de sus disposiciones atomísticas, así como por sus dimensiones generales. [2] [4]
El método MSGF es multiescala en el sentido de que vincula la respuesta de los materiales a una fuerza aplicada a escalas atomísticas con su respuesta a escalas macroscópicas. La respuesta de los materiales a escalas macroscópicas se calcula utilizando el modelo continuo de sólidos. En el modelo continuo, la estructura atomística discreta de los sólidos se promedia en un continuo. Las propiedades de los nanomateriales son sensibles a su estructura atomística, así como a sus dimensiones generales. También son sensibles a la estructura macroscópica del material huésped en el que están incrustados. El método MSGF se utiliza para modelar dichos sistemas compuestos.
El método MSGF también se utiliza para analizar el comportamiento de cristales que contienen defectos de la red, como vacantes, intersticiales o átomos extraños. El estudio de estos defectos de celosía es de interés, ya que juegan un papel en la tecnología de materiales. [11] [12] La presencia de un defecto en una red desplaza los átomos del anfitrión de su posición original o la red se distorsiona. Esto se muestra en la Fig. 1 para una celosía 1D como ejemplo. Se necesita un modelo de escala atomística para calcular esta distorsión cerca del defecto, [13] [14] mientras que el modelo continuo se utiliza para calcular la distorsión lejos del defecto. El MSGF vincula estas dos escalas a la perfección.
MSGF para nanomateriales
El modelo MSGF de nanomateriales tiene en cuenta tanto las multipartículas como las multiescalas en los materiales. [8] Es una extensión del método de la función de Green de la celosía estática (LSGF) que se formuló originalmente en el Establecimiento de Investigación de Energía Atómica de Harwell en el Reino Unido en 1973. [11] [15] También se lo conoce como método Tewary en la literatura. [16] [17] El método LSGF complementa el método de dinámica molecular [18] (MD) para modelar sistemas de múltiples partículas. El método LSGF se basa en el uso del modelo de Born von Karman (BvK) [6] [19] y se puede aplicar a diferentes estructuras de celosía y defectos. [11] [17] [20] El método MSGF es una versión extendida del método LSGF y se ha aplicado a muchos nanomateriales y materiales 2D [2]
En las escalas atomísticas, un cristal o un sólido cristalino está representado por una colección de átomos que interactúan ubicados en sitios discretos en una red geométrica. [19] Un cristal perfecto consta de una retícula geométrica regular y periódica. La celosía perfecta tiene simetría de traslación, lo que significa que todas las celdas unitarias son idénticas. En una red periódica perfecta, que se supone infinita, todos los átomos son idénticos. En el equilibrio, se supone que cada átomo está ubicado en su sitio de red. La fuerza en cualquier átomo debida a otros átomos simplemente se cancela, por lo que la fuerza neta en cada átomo es cero. Estas condiciones se descomponen en una red distorsionada en la que los átomos se desplazan de sus posiciones de equilibrio. [15] La distorsión de la celosía puede deberse a una fuerza aplicada externamente. La red también se puede distorsionar introduciendo un defecto en la red o desplazando un átomo que perturba la configuración de equilibrio e induce una fuerza en los sitios de la red. Esto se muestra en la Fig. 1. El objetivo del modelo matemático es calcular los valores resultantes de los desplazamientos atómicos.
El GF en el método MSGF se calcula minimizando la energía total de la red. [15] La energía potencial de la red en forma de una serie infinita de Taylor en desplazamientos atómicos en la aproximación armónica de la siguiente manera
donde L y L 'etiquetar los átomos, un y b denotan las coordenadas cartesianas, u denota el desplazamiento atómico, y - f y K son el primer y segundo coeficientes de la serie de Taylor . Están definidos por [1]
y
donde las derivadas se evalúan con desplazamientos cero. El signo negativo se introduce en la definición de f por conveniencia. Por tanto, f ( L ) es un vector 3D que denota la fuerza en el átomo L. Sus tres componentes cartesianas se denotan por f a (L) donde a = x , y o z . De manera similar, K (L, L ') es una matriz de 3x3, que se denomina matriz de fuerza constante entre los átomos en L y L' . Sus 9 elementos se denotan por K ab ( L , L ′) para a , b = x , y o z .
En equilibrio, la energía W es mínima. [8] En consecuencia, la primera derivada de W con respecto a cada u debe ser cero. Esto da la siguiente relación de la ecuación. (1)
Se puede demostrar por sustitución directa que la solución de la ecuación. (4) se puede escribir como
donde G se define por la siguiente relación de inversión
En Eq. (6), δ ( m , n ) es la función delta discreta de dos variables discretas my n . Similar al caso de la función delta de Dirac para variables continuas, se define como 1 si m = n y 0 en caso contrario. [6]
Las ecuaciones (4) - (6) se pueden escribir en la notación matricial de la siguiente manera:
Las matrices K y G en las ecuaciones anteriores son 3 N × 3 N matrices cuadradas y u y f son 3 N vectores de columna -dimensional, donde N es el número total de átomos en la red. La matriz G es la GF multipartícula y se conoce como la función de Green de la estática reticular (LSGF). [15] Si se conoce G , los desplazamientos atómicos de todos los átomos se pueden calcular mediante la ecuación. (8).
Uno de los principales objetivos del modelado es el cálculo de los desplazamientos atomísticos u provocados por una fuerza f aplicada . [21] Los desplazamientos, en principio, están dados por la ecuación. (8). Sin embargo, implica la inversión de la matriz K que es 3N x 3N. Para cualquier cálculo de interés práctico N ~ 10,000 pero preferiblemente un millón para simulaciones más realistas. La inversión de una matriz tan grande es computacionalmente extensa y se necesitan técnicas especiales para el cálculo de u. Para las celosías periódicas regulares, LSGF es una de esas técnicas. Consiste en calcular G en términos de su transformada de Fourier, y es similar al cálculo del fonón GF. [6]
El método LSGF ahora se ha generalizado para incluir los efectos multiescala en el método MSGF. [8] El método MSGF es capaz de vincular escalas de longitud sin problemas. Esta propiedad se ha utilizado en el desarrollo de un método MSGF híbrido que combina los métodos GF y MD y se ha utilizado para simular nanoinclusiones menos simétricas, como puntos cuánticos en semiconductores. [22]
Para una celosía perfecta sin defectos, el MSGF vincula directamente las escalas atomísticas en LSGF a las escalas macroscópicas a través del modelo continuo. Una celosía perfecta tiene una simetría de traslación completa, por lo que todos los átomos son equivalentes. En este caso, se puede elegir cualquier átomo como origen y G (L, L ') se puede expresar mediante un único índice (L'-L) [6] definido como
El límite asintótico de G ( L ), que satisface la Ec. (10), para valores grandes de R ( L ) viene dado por [8]
donde x = R ( L ) es el vector de posición del átomo L , y G c ( x ) es la función de Green continuo (CGF), que se define en términos de las constantes elásticas y se utiliza en el modelado de materiales a granel convencionales en macroescalas . [5] [11] En la ecuación. (11), O (1 / x n ) es la notación matemática estándar para un término de orden 1 / x n y superior. La magnitud de G c ( x ) es O (1 / x 2 ). [21] El LSGF G (0, L ) en esta ecuación se reduce suave y automáticamente al CGF para x suficientemente grande a medida que los términos O (1 / x 4 ) se vuelven gradualmente pequeños e insignificantes. Esto asegura el enlace perfecto de la escala de longitud atomística con la escala macroscópica del continuo. [8]
Las ecuaciones (8) y (9) junto con la relación límite dada por la ecuación. (11), forman las ecuaciones básicas para el MSGF. [8] La ecuación (9) da el LSGF, que es válido en las escalas atomísticas y Eq. (11) lo relaciona con el CGF, que es válido en las escalas de macro continuum. Esta ecuación también muestra que el LSGF se reduce sin problemas al CGF.
Método MSGF para calcular el efecto de defectos y discontinuidades en nanomateriales
Si una celosía contiene defectos, su simetría de traslación se rompe. En consecuencia, no es posible expresar G en términos de una única variable de distancia R ( L ). Por tanto, la ecuación. (10) ya no es válido y la correspondencia entre el LSGF y el CGF, necesaria para su vinculación perfecta, se rompe. [15] En tales casos, el MSGF vincula las escalas de celosía y continuo mediante el siguiente procedimiento: [15]
Si p denota el cambio en la matriz K, causado por el defecto (s), la matriz constante de fuerza K * para la celosía defectuosa se escribe como
Como en el caso de la celosía perfecta en la ecuación. (9), el defecto correspondiente GF se define como la inversa de la matriz K * completa . Uso de Eq. (12), luego conduce a la siguiente ecuación de Dyson para el defecto LSGF: [15]
El método MSGF consiste en resolver la ecuación. (13) para G * utilizando la técnica de partición matricial o la doble transformada de Fourier. [6]
Una vez que se conoce G * , el vector de desplazamiento viene dado por la siguiente ecuación GF similar a la Ec. (8):
u = G * f (14)
La ecuación (14) da la solución deseada, es decir, los desplazamientos atómicos o la distorsión reticular causada por la fuerza f . Sin embargo, no muestra el vínculo de la celosía y las múltiples escalas continuas, porque las Ecs. (10) y (11) no son válidos para el defecto LSGF G * . El vínculo entre la celosía y el modelo continuo en caso de celosía con defectos se logra mediante el uso de una transformación exacta que se describe a continuación. [8]
Usando la ecuación (13), la ecuación. (14) se puede escribir en la siguiente forma exactamente equivalente:
u = Gf + G p G * f . (15)
Uso de Eq. (14) nuevamente en el lado derecho de la Ec. (15) da,
u = G f * (16)
dónde
f * = f + pu . (17)
Tenga en cuenta que la ecuación. (17) define una fuerza efectiva f * tal que las Ecs. (14) y (16) son exactamente equivalentes.
La ecuación (16) expresa los desplazamientos atómicos u en términos de G , el LSGF perfecto incluso para celosías con defectos. El efecto de los defectos se incluye exactamente en f * . El LSGF G es independiente de f o f * y se reduce al CGF de manera asintótica y suave como se indica en la Ec. (11). La fuerza efectiva f * se puede determinar en un cálculo separado mediante el uso de un método independiente, si es necesario, y la estática de celosía o el modelo continuo puede ser utilizado para G . Esta es la base de un modelo híbrido que combina MSGF y MD para simular un punto cuántico de germanio en una red de silicio. [22]
La ecuación (16) es la ecuación maestra del método MSGF. [2] [8] Es verdaderamente multiescala. Todas las contribuciones atomísticas discretas se incluyen en f *. La función G de Green se puede calcular de forma independiente, que puede ser totalmente atomística para nanomateriales o parcial o totalmente continua para macroescalas para tener en cuenta las superficies y las interfaces en los sistemas de materiales según sea necesario [8]
Referencias
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