En física , la función de Green (o solución fundamental ) para la ecuación de Laplace en tres variables se usa para describir la respuesta de un tipo particular de sistema físico a una fuente puntual . En particular, esta función de Green surge en sistemas que pueden describirse mediante la ecuación de Poisson , una ecuación diferencial parcial (PDE) de la forma
dónde es el operador de Laplace en, es el término fuente del sistema, y es la solución de la ecuación. Porquees un operador diferencial lineal , la solución a un sistema general de este tipo se puede escribir como una integral sobre una distribución de fuente dada por :
donde la función de Green para la ecuación de Laplace en tres variables describe la respuesta del sistema en el punto a una fuente puntual ubicada en :
y la fuente puntual viene dada por , la función delta de Dirac .
Motivación
Un sistema físico de este tipo es una distribución de carga en electrostática . En tal sistema, el campo eléctrico se expresa como el gradiente negativo del potencial eléctrico y se aplica la ley de Gauss en forma diferencial:
La combinación de estas expresiones da
- ( Ecuación de Poisson ).
Podemos encontrar la solución a esta ecuación para una distribución de carga arbitraria al considerar temporalmente la distribución creada por una carga puntual situado en :
En este caso,
que muestra que por dará la respuesta del sistema a la carga puntual . Por lo tanto, de la discusión anterior, si podemos encontrar la función de Green de este operador, podemos encontrar ser - estar
para una distribución de carga general.
Exposición matemática
La función de Green en el espacio libre para la ecuación de Laplace en tres variables se da en términos de la distancia recíproca entre dos puntos y se conoce como " núcleo de Newton " o " potencial newtoniano ". Es decir, la solución de la ecuación
es
dónde son las coordenadas cartesianas estándar en un espacio tridimensional, y es la función delta de Dirac .
La expresión algebraica de la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables, además del término constanteexpresado en coordenadas cartesianas se denominará
Son posibles muchas fórmulas de expansión, dada la expresión algebraica de la función de Green. Uno de los más conocidos de estos, la expansión de Laplace para la ecuación de Laplace de tres variables, se da en términos de la función generadora de polinomios de Legendre ,
que se ha escrito en términos de coordenadas esféricas . La notación menor que (mayor que) significa, tome el radio esférico imprimado o no imprimado dependiendo de cuál sea menor que (mayor que) el otro. La representa el ángulo entre los dos vectores arbitrarios dada por
La función de Green cilíndrica circular de espacio libre (ver más abajo) se da en términos de la distancia recíproca entre dos puntos. La expresión se deriva de la electrodinámica clásica de Jackson . [1] Usando la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables, se puede integrar la ecuación de Poisson para determinar la función potencial. Las funciones de Green se pueden expandir en términos de los elementos básicos (funciones armónicas) que se determinan utilizando los sistemas de coordenadas separables para la ecuación diferencial parcial lineal . Hay muchas expansiones en términos de funciones especiales para la función de Green. En el caso de un límite puesto en el infinito con la condición de límite que establece la solución en cero en el infinito, entonces uno tiene una función de Green de extensión infinita. Para la ecuación de Laplace de tres variables, se puede, por ejemplo, expandirla en los sistemas de coordenadas invariantes de rotación que permiten la separación de variables . Por ejemplo:
dónde
y es la función de Legendre de grado impar medio entero de segundo tipo, que es un armónico toroidal. Aquí la expansión se ha escrito en términos de coordenadas cilíndricas.. Consulte, por ejemplo, las coordenadas toroidales .
Usando una de las fórmulas de Whipple para armónicos toroidales podemos obtener una forma alternativa de la función de Green
en términos de un armónico toroidal del primer tipo.
Esta fórmula se utilizó en 1999 para aplicaciones astrofísicas en un artículo publicado en The Astrophysical Journal , publicado por Howard Cohl y Joel Tohline. [2] La fórmula antes mencionada también es conocida en la comunidad de ingenieros. Por ejemplo, un artículo escrito en el Journal of Applied Physics en el volumen 18, 1947 páginas 562-577 muestra que NG De Bruijn y CJ Boukamp conocían la relación anterior. De hecho, prácticamente todas las matemáticas encontradas en artículos recientes ya fueron realizadas por Chester Snow. Esto se encuentra en su libro titulado Hypergeometric and Legendre Functions with Applications to Integral Equations of Potential Theory , National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 19, 1952. Mire específicamente en las páginas 228-263. El artículo de Chester Snow, "Campos magnéticos de bobinas cilíndricas y bobinas anulares" (National Bureau of Standards, Applied Mathematical Series 38, 30 de diciembre de 1953), muestra claramente la relación entre la función de Green en el espacio libre en coordenadas cilíndricas y Q -expresión de función. Asimismo, véase otro de los trabajos de Snow, titulado "Fórmulas para computación de capacitancia e inductancia", Circular 544 de la Oficina Nacional de Normas, 10 de septiembre de 1954, págs. 13–41. De hecho, no se ha publicado mucho recientemente sobre el tema de las funciones toroidales y sus aplicaciones en ingeniería o física. Sin embargo, existen varias aplicaciones de ingeniería. Se publicó una aplicación; el artículo fue escrito por JP Selvaggi, S. Salon, O. Kwon y MVK Chari, "Cálculo del campo magnético externo a partir de imanes permanentes en motores de imán permanente: un método alternativo", IEEE Transactions on Magnetics, vol. 40, núm. 5, septiembre de 2004. Estos autores han realizado un extenso trabajo con funciones de Legendre de segundo tipo y grado semintegral o funciones toroidales de orden cero. Han resuelto numerosos problemas que exhiben simetría cilíndrica circular empleando funciones toroidales.
Las expresiones anteriores para la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables son ejemplos de expresiones de suma simple para esta función de Green. También hay expresiones integrales simples para esta función de Green. Se puede ver que existen ejemplos de estos en coordenadas cilíndricas rotacionales como una transformada de Laplace integral en la diferencia de alturas verticales cuyo núcleo se da en términos de la función de Bessel de orden cero de la primera clase como
dónde son las variables mayores (menores) y . De manera similar, la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables se puede dar como una transformada coseno integral de Fourier de la diferencia de alturas verticales cuyo núcleo está dado en términos de la función de Bessel modificada de orden cero del segundo tipo como
Funciones de Green invariantes en rotación para la ecuación de Laplace de tres variables
Las expansiones de funciones de Green existen en todos los sistemas de coordenadas invariantes rotacionalmente que se sabe que dan soluciones a la ecuación de Laplace de tres variables a través de la técnica de separación de variables.
- coordenadas cilíndricas
- coordenadas esféricas
- Prolate coordenadas esferoidales
- Coordenadas esferoidales oblatas
- Coordenadas parabólicas
- Coordenadas toroidales
- Coordenadas bisféricas
- Coordenadas de ciclidos de anillo plano
- Coordenadas de ciclidos de disco plano
- Coordenadas de biciclidos
- Coordenadas cap-ciclido