Definiciones basicas
Consideramos una teoría de muchos cuerpos con operador de campo (operador de aniquilación escrito en la base de la posición)
.
Los operadores de Heisenberg se pueden escribir en términos de operadores de Schrödinger como
![\psi(\mathbf{x},t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i} K t} \psi(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} K t},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el operador de creación es
, dónde
es el gran canónico hamiltoniano.
De manera similar, para los operadores de tiempo imaginario ,
![\psi(\mathbf{x},\tau) = \mathrm{e}^{K \tau} \psi(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{-K\tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\bar\psi(\mathbf{x},\tau) = \mathrm{e}^{K \tau} \psi^\dagger(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{-K\tau}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[Tenga en cuenta que el operador de creación de tiempo imaginario
no es el conjugado hermitiano del operador de aniquilación
.]
En tiempo real, el
-La función de punto verde está definida por
![{\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde hemos utilizado una notación condensada en la que
significa
y
significa
. El operador
denota orden de tiempo e indica que los operadores de campo que lo siguen deben ordenarse para que sus argumentos de tiempo aumenten de derecha a izquierda.
En el tiempo imaginario, la definición correspondiente es
![{\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
significa
. (Las variables de tiempo imaginario
están restringidos al rango de
a la temperatura inversa
.)
Nota sobre los signos y la normalización utilizados en estas definiciones: Los signos de las funciones de Green se han elegido de modo que la transformada de Fourier de los dos puntos (
) La función verde térmica para una partícula libre es
![\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{-\mathrm{i}\omega_n + \xi_\mathbf{k}},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y la función verde retardada es
![G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+\mathrm{i}\eta) + \xi_\mathbf{k}},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![\omega_n = {[2n+\theta(-\zeta)]\pi}/{\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la frecuencia de Matsubara .
A lo largo de,
es
para bosones y
para fermiones y
indica un conmutador o un anticonmutador, según corresponda.
(Consulte los detalles a continuación ).
Funciones de dos puntos
La función de Green con un solo par de argumentos (
) se conoce como función de dos puntos o propagador . En presencia de simetría traslacional tanto espacial como temporal, depende solo de la diferencia de sus argumentos. Tomar la transformada de Fourier con respecto al espacio y al tiempo da
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la suma está sobre las frecuencias apropiadas de Matsubara (y la integral involucra un factor implícito de
, como siempre).
En tiempo real, indicaremos explícitamente la función ordenada en el tiempo con un superíndice T:
![{\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (t-t')}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función de Green de dos puntos en tiempo real se puede escribir en términos de funciones de Green 'retardadas' y 'avanzadas', que resultarán tener propiedades de analiticidad más simples. Las funciones Green retardadas y avanzadas están definidas por
![{\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
respectivamente.
Están relacionados con la función verde ordenada en el tiempo por
![G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) = [1+\zeta n(\omega)]G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) - \zeta n(\omega) G^{\mathrm{A}}(\mathbf{k},\omega),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![n(\omega) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta \omega}-\zeta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la función de distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac .
Ordenamiento en tiempo imaginario y periodicidad β
Las funciones verdes térmicas se definen solo cuando ambos argumentos de tiempo imaginario están dentro del rango
a
. La función verde de dos puntos tiene las siguientes propiedades. (Los argumentos de posición o impulso se suprimen en esta sección).
En primer lugar, depende solo de la diferencia de los tiempos imaginarios:
![\mathcal{G}(\tau,\tau') = \mathcal{G}(\tau - \tau').](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El argumento
se le permite correr desde
a
.
En segundo lugar,
es (anti) periódica en turnos de
. Debido al pequeño dominio dentro del cual se define la función, esto significa solo
![\mathcal{G}(\tau - \beta) = \zeta \mathcal{G}(\tau),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
. El orden de tiempo es crucial para esta propiedad, que se puede probar de manera sencilla, utilizando la ciclicidad de la operación de seguimiento.
Estas dos propiedades permiten la representación de la transformada de Fourier y su inversa,
![\mathcal{G}(\omega_n) = \int_0^\beta \mathrm{d}\tau \, \mathcal{G}(\tau)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n \tau}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Finalmente, tenga en cuenta que
tiene una discontinuidad en
; esto es consistente con un comportamiento a larga distancia de
.
Representación espectral
Los propagadores en tiempo real e imaginario pueden estar relacionados con la densidad espectral (o peso espectral), dada por
![{\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde | α ⟩ se refiere a un (-cuerpo muchos) eigenstate de la gran canónica hamiltoniano H - μN , con valor propio E α .
El propagador de tiempo imaginario viene dado por
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el propagador retardado por
![{\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el limite como
está implícito.
El propagador avanzado viene dado por la misma expresión, pero con
en el denominador.
La función ordenada por tiempo se puede encontrar en términos de
y
. Como se afirmó anteriormente,
y
tienen propiedades de analiticidad simples: el primero (último) tiene todos sus polos y discontinuidades en el semiplano inferior (superior).
El propagador térmico
tiene todos sus polos y discontinuidades en el imaginario
eje.
La densidad espectral se puede encontrar muy directamente a partir de
, utilizando el teorema de Sokhatsky-Weierstrass
![{\displaystyle \lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde P denota la parte principal de Cauchy . Esto da
![{\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto además implica que
obedece a la siguiente relación entre sus partes real e imaginaria:
![{\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
denota el valor principal de la integral.
La densidad espectral obedece a una regla de suma,
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que da
![G^{\mathrm{R}}(\omega)\sim\frac{1}{|\omega|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
como
.
Transformada de Hilbert
La similitud de las representaciones espectrales de las funciones de Green en tiempo real e imaginario nos permite definir la función
![G(\mathbf{k},z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d} x}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},x)}{-z+x},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que está relacionado con
y
por
![\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = G(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = G(\mathbf{k},\omega + \mathrm{i}\eta).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una expresión similar obviamente vale para
.
La relación entre
y
se conoce como transformada de Hilbert .
Prueba de representación espectral
Demostramos la prueba de la representación espectral del propagador en el caso de la función verde térmica, definida como
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Debido a la simetría traslacional, solo es necesario considerar
por
, dada por
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La inserción de un conjunto completo de autoestados da
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Desde
y
son estados propios de
, los operadores de Heisenberg se pueden reescribir en términos de operadores de Schrödinger, dando
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Al realizar la transformada de Fourier se obtiene
![{\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La conservación del momento permite escribir el término final como (hasta posibles factores del volumen)
![{\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que confirma las expresiones para las funciones de Green en la representación espectral.
La regla de la suma se puede probar considerando el valor esperado del conmutador,
![{\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y luego insertando un conjunto completo de autoestados en ambos términos del conmutador:
![{\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Al intercambiar las etiquetas en el primer término, se obtiene
![{\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es exactamente el resultado de la integración de ρ .
Caso que no interactúa
En el caso de no interactuar,
es un estado propio con energía (gran canónica)
, dónde
es la relación de dispersión de una sola partícula medida con respecto al potencial químico. Por tanto, la densidad espectral se convierte en
![{\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De las relaciones de conmutación,
![{\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con posibles factores del volumen nuevamente. La suma, que involucra el promedio térmico del operador numérico, da simplemente
, partida
![\rho_0(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El propagador de tiempo imaginario es así
![\mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-\mathrm{i}\omega_n + \xi_\mathbf{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el propagador retardado es
![G_0^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+\mathrm{i} \eta) + \xi_\mathbf{k}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Límite de temperatura cero
Cuando β → ∞, la densidad espectral se convierte en
![{\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )|\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde α = 0 corresponde al estado fundamental. Tenga en cuenta que solo el primer (segundo) término contribuye cuando ω es positivo (negativo).
Definiciones basicas
Podemos usar 'operadores de campo' como arriba, o operadores de creación y aniquilación asociados con otros estados de una sola partícula, quizás estados propios de la energía cinética (que no interactúa). Luego usamos
![\psi(\mathbf{x} ,\tau) = \varphi_\alpha(\mathbf{x} ) \psi_\alpha(\tau),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es el operador de aniquilación para el estado de una sola partícula
y
es la función de onda de ese estado en la base de la posición. Esto da
![\mathcal{G}^{(n)}_{\alpha_1\ldots\alpha_n|\beta_1\ldots\beta_n}(\tau_1 \ldots \tau_n | \tau_1' \ldots \tau_n')
= \langle T\psi_{\alpha_1}(\tau_1)\ldots\psi_{\alpha_n}(\tau_n)\bar\psi_{\beta_n}(\tau_n')\ldots\bar\psi_{\beta_1}(\tau_1')\rangle](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con una expresión similar para
.
Funciones de dos puntos
Estos dependen solo de la diferencia de sus argumentos de tiempo, de modo que
![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (t-t')}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De nuevo podemos definir funciones retardadas y avanzadas de la manera obvia; estos están relacionados con la función ordenada en el tiempo de la misma manera que antes.
Las mismas propiedades de periodicidad descritas anteriormente se aplican a
. Específicamente,
![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau) = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau + \beta),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
.
Representación espectral
En este caso,
![{\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
y
son estados de muchos cuerpos.
Las expresiones para las funciones de Green se modifican de las formas obvias:
![\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-\mathrm{i}\omega_n+\omega'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![G^{\mathrm{R}}_{\alpha\beta}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-(\omega+\mathrm{i}\eta)+\omega'}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sus propiedades de analiticidad son idénticas. La demostración sigue exactamente los mismos pasos, excepto que los dos elementos de la matriz ya no son conjugados complejos.
Caso de no interacción
Si los estados particulares de una sola partícula que se eligen son 'estados propios de energía de una sola partícula', es decir
![[H-\mu N,\psi_\alpha^\dagger] = \xi_\alpha\psi_\alpha^\dagger,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces para
un eigenstate:
![{\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Asi es
:
![{\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y tambien
:
![{\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto tenemos
![{\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego reescribimos
![{\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por lo tanto
![{\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
usar
![{\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el hecho de que el promedio térmico del operador numérico da la función de distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac.
Finalmente, la densidad espectral se simplifica para dar
![\rho_{\alpha\beta} = 2\pi \delta(\xi_\alpha - \omega)\delta_{\alpha\beta},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
de modo que la función verde térmica sea
![\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-\mathrm{i}\omega_n + \xi_\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y la función verde retardada es
![G_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-(\omega+\mathrm{i}\eta) + \xi_\beta}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que la función de Green que no interactúa es diagonal, pero esto no será cierto en el caso de interacción.