La distribución estable multivariante es una distribución de probabilidad multivariante que es una generalización multivariada de la distribución estable univariante . La distribución estable multivariante define relaciones lineales entre los marginales de distribución estable . [ aclaración necesaria ] De la misma manera que para el caso univariado, la distribución se define en términos de su función característica .
Función de densidad de probabilidad Mapa de calor que muestra una distribución estable multivariante (bivariada) con α = 1,1 | |||
Parámetros | - exponente - vector de cambio / ubicación - una medida espectral finita en la esfera | ||
---|---|---|---|
Apoyo | |||
(sin expresión analítica) | |||
CDF | (sin expresión analítica) | ||
Diferencia | Infinito cuando | ||
CF | ver texto |
La distribución estable multivariada también se puede pensar como una extensión de la distribución normal multivariada . Tiene el parámetro, α , que se define en el rango 0 < α ≤ 2, y donde el caso α = 2 es equivalente a la distribución normal multivariante. Tiene un parámetro de sesgo adicional que permite distribuciones no simétricas, donde la distribución normal multivariante es simétrica.
Definición
Dejar ser la esfera unitaria en . Un vector aleatorio ,, tiene una distribución estable multivariante, denotada como -, si la función característica conjunta de es [1]
donde 0 < α <2, y para
Este es esencialmente el resultado de Feldheim, [2] que cualquier vector aleatorio estable se puede caracterizar por una medida espectral (una medida finita en ) y un vector de cambio .
Parametrización mediante proyecciones
Otra forma de describir un vector aleatorio estable es en términos de proyecciones. Para cualquier vector, la proyección es univariado estable con algo de sesgo , escala y algún cambio . La notación se utiliza si X es estable con para cada . Esto se llama parametrización de proyección.
La medida espectral determina las funciones de los parámetros de proyección mediante:
Casos especiales
Hay casos especiales en los que la función característica multivariante toma una forma más simple. Defina la función característica de un marginal estable como
Distribución estable multivariante isotrópica
La función característica es La medida espectral es continua y uniforme, lo que conduce a una simetría radial / isotrópica. [3] Para el caso multinormal, esto corresponde a componentes independientes, pero no es el caso cuando . La isotropía es un caso especial de elipticidad (consulte el párrafo siguiente); simplemente tome ser un múltiplo de la matriz de identidad.
Distribución estable multivariante contorneada elípticamente
La distribución estable multivariante contorneada elípticamente es un caso simétrico especial de la distribución estable multivariante. Si X es α -estable y contorneado elípticamente, entonces tiene una función característica conjunta para algún vector de cambio (igual a la media cuando existe) y alguna matriz definida positiva (similar a una matriz de correlación, aunque la definición habitual de correlación no es significativa). Tenga en cuenta la relación con la función característica de la distribución normal multivariante :obtenido cuando α = 2.
Componentes independientes
Los marginales son independientes con , entonces la función característica es
Observe que cuando α = 2 esto se reduce nuevamente a la normal multivariante; tenga en cuenta que el caso iid y el caso isotrópico no coinciden cuando α <2. Los componentes independientes son un caso especial de medida espectral discreta (consulte el párrafo siguiente), con la medida espectral apoyada por los vectores unitarios estándar.
Discreto
Si la medida espectral es discreta con masa a la función característica es
Propiedades lineales
Si es d- dimensional, A es una matriz de m x d , yentonces AX + b es m -dimensional-estable con función de escala función de sesgo y función de ubicación
Inferencia en el modelo de componentes independientes
Recientemente [4] se mostró cómo calcular la inferencia en forma cerrada en un modelo lineal (o equivalentemente un modelo de análisis factorial ), que involucra modelos de componentes independientes.
Más específicamente, dejemos ser un conjunto de iid univariante no observado extraído de una distribución estable . Dada una matriz de relación lineal conocida A de tamaño, La observación se supone que se distribuyen como una convolución de los factores ocultos . . La tarea de inferencia es calcular el valor más probable, dada la matriz de relación lineal A y las observaciones . Esta tarea se puede calcular en forma cerrada en O ( n 3 ).
Una aplicación para esta construcción es la detección multiusuario con ruido estable no gaussiano.
Ver también
Recursos
- Paquete matlab de distribución estable de Mark Veillette http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
- Los gráficos de esta página se trazaron utilizando la inferencia de Danny Bickson en el paquete Matlab de modelo lineal estable: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable
Notas
- ^ J. Nolan, Densidades estables multivariadas y funciones de distribución: caso general y elíptico, Conferencia BundesBank, Eltville, Alemania, 11 de noviembre de 2005. Véase también http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html
- ^ Feldheim, E. (1937). Etude de la stabilité des lois de probabilité. Tesis de doctorado, Faculté des Sciences de Paris, Paris, Francia.
- ^ Manual de usuario para la versión STABLE 5.1 Matlab, Robust Analysis Inc., http://www.RobustAnalysis.com
- ^ D. Bickson y C. Guestrin. Inferencia en modelos lineales con colas pesadas multivariadas. En Neural Information Processing Systems (NIPS) 2010, Vancouver, Canadá, diciembre de 2010. https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable/