Distribución de Cauchy
La distribución de Cauchy , que lleva el nombre de Augustin Cauchy , es una distribución de probabilidad continua . También se conoce, especialmente entre los físicos , como distribución de Lorentz (después de Hendrik Lorentz ), distribución de Cauchy-Lorentz , función de Lorentz (ian) o distribución de Breit-Wigner . La distribución de Cauchy es la distribución de la intersección con el eje x de un rayo que sale con un ángulo uniformemente distribuido. También es la distribución de la relación de dos independientes normalmente distribuidos variables aleatorias con media cero.
La distribución de Cauchy se usa a menudo en estadística como el ejemplo canónico de una distribución " patológica ", ya que tanto su valor esperado como su varianza no están definidos (pero ver § Explicación de momentos indefinidos más abajo). La distribución de Cauchy no tiene momentos finitos de orden mayor o igual a uno; sólo existen momentos absolutos fraccionarios. [1] La distribución de Cauchy no tiene una función generadora de momento .
En matemáticas , está estrechamente relacionado con el núcleo de Poisson , que es la solución fundamental para la ecuación de Laplace en el semiplano superior .
Es una de las pocas distribuciones que es estable y tiene una función de densidad de probabilidad que se puede expresar analíticamente, siendo las otras la distribución normal y la distribución de Lévy .
Las funciones con la forma de la función de densidad de la distribución de Cauchy fueron estudiadas por matemáticos en el siglo XVII, pero en un contexto diferente y bajo el título de la bruja de Agnesi . A pesar de su nombre, el primer análisis explícito de las propiedades de la distribución de Cauchy fue publicado por el matemático francés Poisson en 1824, y Cauchy solo se asoció con él durante una controversia académica en 1853. [2] Como tal, el nombre de la distribución es un caso de la Ley de Eponimia de Stigler . Poisson señaló que si se tomaba la media de las observaciones que siguieron a dicha distribución, el error medio no convergería a ningún número finito. Como tal, el uso de Laplace delEl teorema del límite central con tal distribución era inapropiado, ya que asumía una media y una varianza finitas. A pesar de esto, Poisson no consideró el tema como importante, en contraste con Bienaymé , quien iba a involucrar a Cauchy en una larga disputa sobre el asunto.
donde es el parámetro de ubicación , que especifica la ubicación del pico de la distribución, y es el parámetro de escala que especifica la mitad del ancho a la mitad del máximo (HWHM), alternativamente es el ancho completo a la mitad del máximo (FWHM). también es igual a la mitad del rango intercuartílico y, a veces, se denomina error probable . Augustin-Louis Cauchy explotó tal función de densidad en 1827 con un parámetro de escala infinitesimal , definiendo lo que ahora se llamaría una función delta de Dirac .
