Cuadrados latinos mutuamente ortogonales
En combinatoria , se dice que dos cuadrados latinos del mismo tamaño ( orden ) son ortogonales si, cuando se superponen, las entradas pareadas ordenadas en las posiciones son todas distintas. Un conjunto de cuadrados latinos, todos del mismo orden, todos los pares de los cuales son ortogonales, se denomina conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Este concepto de ortogonalidad en combinatoria está fuertemente relacionado con el concepto de bloqueo en estadística., lo que asegura que las variables independientes sean verdaderamente independientes sin correlaciones de confusión ocultas. Por tanto, "ortogonal" es sinónimo de "independiente" en el sentido de que conocer el valor de una variable no proporciona más información sobre el valor probable de otra variable.
Un par de cuadrados latinos ortogonales se ha llamado tradicionalmente un cuadrado grecolatino , aunque ese término ahora está algo anticuado.
Un cuadrado grecolatino o cuadrado de Euler o un par de cuadrados latinos ortogonales de orden n sobre dos conjuntos S y T (que pueden ser iguales), cada uno de los cuales consta de n símbolos, es una disposición n × n de celdas, cada celda contiene una par ordenado ( s , t ) , donde s está en S y t está en T , de modo que cada fila y cada columna contiene cada elemento de S y cada elemento de T exactamente una vez, y que no hay dos celdas que contengan el mismo par ordenado.
La disposición de las coordenadas s por sí mismas (que pueden considerarse caracteres latinos) y de las coordenadas t (los caracteres griegos) forman cada una un cuadrado latino . Por tanto, un cuadrado grecolatino se puede descomponer en dos cuadrados latinos ortogonales. La ortogonalidad aquí significa que cada par ( s , t ) del producto cartesiano S × T ocurre exactamente una vez.
Los cuadrados latinos ortogonales fueron estudiados en detalle por Leonhard Euler , quien tomó los dos conjuntos como S = { A , B , C , ... }, las primeras n letras mayúsculas del alfabeto latino , y T = {α, β, γ, ... }, las primeras n letras minúsculas del alfabeto griego, de ahí el nombre cuadrado grecolatino.
Cuando un cuadrado grecolatino se ve como un par de cuadrados latinos ortogonales, se dice que cada uno de los cuadrados latinos tiene una relación de posición ortogonal . En un cuadrado latino arbitrario, una selección de posiciones, una en cada fila y una en cada columna, cuyas entradas son todas distintas, se llama transversal de ese cuadrado. [1] Considere un símbolo en un cuadrado grecolatino. Las posiciones que contienen este símbolo deben estar todas en filas y columnas diferentes y, además, el otro símbolo en estas posiciones deben ser todos distintos. Por lo tanto, cuando se ve como un par de cuadrados latinos, las posiciones que contienen un símbolo en el primer cuadrado corresponden a una transversal en el segundo cuadrado (y viceversa).
