Coeficiente binomial

En matemáticas , los coeficientes binomiales son los números enteros positivos que aparecen como coeficientes en el teorema binomial . Comúnmente, un coeficiente binomial está indexado por un par de números enteros $n \geq k \geq 0$ y se escribe Es el coeficiente del término $x$ $k$ en la expansión polinomial de la potencia binomial $(1 +$ $x$ $)$ $n$ , y está dado por la fórmula ${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {k}}.}$

y el coeficiente binomial es el coeficiente del término $x$ $2$ . ${\ displaystyle {\ tbinom {4} {2}} = {\ tfrac {4!} {2! 2!}} = 6}$

Organizar los números en filas sucesivas para obtener una matriz triangular llamada triángulo de Pascal , satisface la relación de recurrencia ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {0}}, {\ tbinom {n} {1}}, \ ldots, {\ tbinom {n} {n}}}$ ${\ Displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$

Los coeficientes binomiales se pueden organizar para formar el triángulo de Pascal , en el que cada entrada es la suma de los dos inmediatamente anteriores.

Visualización de expansión binomial hasta la 4a potencia

1000ª fila del triángulo de Pascal, dispuesta verticalmente, con representaciones en escala de grises de los dígitos decimales de los coeficientes, alineados a la derecha. El límite izquierdo de la imagen corresponde aproximadamente a la gráfica del logaritmo de los coeficientes binomiales e ilustra que forman una secuencia logarítmica-cóncava .

{\ displaystyle {\ begin {array} {c} 1 \\ 1 \ qquad 1 \\ 1 \ qquad 2 \ qquad 1 \\ {\ color {azul} 1 \ qquad 3 \ qquad 3 \ qquad 1} \\ 1 \ qquad 4 \ qquad 6 \ qquad 4 \ qquad 1 \\ 1 \ qquad 5 \ qquad 10 \ qquad 10 \ qquad 5 \ qquad 1 \\ 1 \ qquad 6 \ qquad 15 \ qquad {\ color {red} 20} \ qquad 15 \ qquad 6 \ qquad 1 \\ 1 \ qquad 7 \ qquad 21 \ qquad 35 \ qquad 35 \ qquad 21 \ qquad 7 \ qquad 1 \ end {array}}}

Triángulo de Pascal, filas 0 a 7. La ecuación 8 para m = 3 se ilustra en las filas 3 y 6 como

{\ Displaystyle 1 ^ {2} + 3 ^ {2} + 3 ^ {2} + 1 ^ {2} = 20.}

Coeficientes binomiales C ( n , k ) extendidos para n negativos y fraccionarios , ilustrados con un binomio simple . Se puede observar que el triángulo de Pascal se rota y los términos alternativos se niegan. El caso n = −1 da la serie de Grandi .