En geometría algebraica real , una función de Nash en un subconjunto semialgebraico abierto U ⊂ R n es una función analítica f : U → R que satisface una ecuación polinomial no trivial P ( x , f ( x )) = 0 para todo x en U (A semialgebraica subconjunto de R n es un subconjunto obtenido de subconjuntos de la forma { x en R n : P ( x ) = 0} o { xen R n : P ( x )> 0}, donde P es un polinomio, tomando uniones finitas, intersecciones finitas y complementos). Algunos ejemplos de funciones de Nash:
- Las funciones racionales polinomiales y regulares son funciones de Nash.
- es Nash en R .
- la función que asocia a una matriz simétrica real su i -ésimo valor propio (en orden creciente) es Nash en el subconjunto abierto de matrices simétricas sin valor propio múltiple.
Las funciones de Nash son aquellas funciones necesarias para tener un teorema de función implícito en la geometría algebraica real.
Colectores de Nash
Junto con las funciones de Nash, se definen las variedades de Nash , que son subvariedades analíticas semialgebraicas de algún R n . Un mapeo de Nash entre variedades de Nash es entonces un mapeo analítico con grafo semialgebraico. Las funciones y variedades de Nash llevan el nombre de John Forbes Nash, Jr. , quien demostró (1952) que cualquier variedad compacta y suave admite una estructura de variedad de Nash, es decir, es difeomórfica de alguna variedad de Nash. De manera más general, una variedad suave admite una estructura de variedad de Nash si y solo si es difeomórfica del interior de alguna variedad suave compacta posiblemente con límite. El resultado de Nash fue completado más tarde (1973) por Alberto Tognoli, quien demostró que cualquier variedad compacta suave es difeomórfica de alguna variedad algebraica real afín; en realidad, cualquier variedad de Nash es difeomórfica de Nash de una variedad algebraica real afín. Estos resultados ejemplifican el hecho de que la categoría de Nash es algo intermedia entre las categorías suave y algebraica.
Propiedades locales
Las propiedades locales de las funciones de Nash se comprenden bien. El anillo de gérmenes de las funciones de Nash en un punto de una variedad de Nash de dimensión n es isomorfo al anillo de series de potencia algebraica en n variables (es decir, aquellas series que satisfacen una ecuación polinomial no trivial), que es la henselización del anillo de gérmenes de funciones racionales. En particular, es un anillo local regular de dimensión n .
Propiedades globales
Las propiedades globales son más difíciles de obtener. El hecho de que el anillo de Nash funciona en una variedad de Nash (incluso no compacta) es noetheriano fue probado independientemente (1973) por Jean-Jacques Risler y Gustave Efroymson. Las variedades de Nash tienen propiedades similares pero más débiles que los teoremas A y B de Cartan sobre las variedades de Stein . Dejardenotar el haz de gérmenes de función de Nash en una variedad de Nash M , yser un haz coherente de-ideales. Asumir es finito, es decir, existe una cubierta semialgebraica abierta finita de M tal que, para cada i , es generado por funciones de Nash en . Luegoes generado globalmente por funciones de Nash en M , y el mapa natural
es sobreyectiva. Sin embargo
contrariamente al caso de las variedades Stein.
Generalizaciones
Las funciones y variedades de Nash se pueden definir sobre cualquier campo cerrado real en lugar del campo de números reales, y las afirmaciones anteriores siguen siendo válidas. Las funciones abstractas de Nash también se pueden definir en el espectro real de cualquier anillo conmutativo.
Fuentes
- J. Bochnak, M. Coste y MF. Roy: Geometría algebraica real. Springer, 1998.
- M. Coste, JM Ruiz y M. Shiota: Problemas globales sobre funciones de Nash. Revista Matem \ 'atica Complutense 17 (2004), 83-115.
- G. Efroymson: A Nullstellensatz for Nash rings. Pacific J. Math. 54 (1974), 101-112.
- JF Nash: Variedades algebraicas reales. Annals of Mathematics 56 (1952), 405--421.
- JJ. Risler: Sur l'anneau des fonctions de Nash globales. CR Acad. Sci. Paris Sér. AB 276 (1973), A1513 - A1516.
- M. Shiota: variedades de Nash. Springer, 1987.
- A. Tognoli: Su una congettura di Nash. Ana. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa 27 (1973), 167-185.