En matemáticas , la noción de un germen de un objeto en / sobre un espacio topológico es una clase de equivalencia de ese objeto y otros del mismo tipo que captura sus propiedades locales compartidas. En particular, los objetos en cuestión son principalmente funciones (o mapas ) y subconjuntos . En implementaciones específicas de esta idea, las funciones o subconjuntos en cuestión tendrán alguna propiedad, como ser analíticas o fluidas, pero en general esto no es necesario (las funciones en cuestión ni siquiera necesitan ser continuas ); Sin embargo, es necesario que el espacio sobre / en el que se define el objeto sea un espacio topológico, para que la palabra local tener algo de sentido común.
Nombre
El nombre se deriva del germen de cereal en una continuación de la metáfora de la gavilla , ya que un germen es (localmente) el "corazón" de una función, como lo es de un grano.
Definicion formal
Definición básica
Dado un punto x de un espacio topológico X y dos mapas(donde Y es cualquier conjunto ), entonces y definir el mismo germen en x si hay una zona de U de x tal que restringen a U , f y g son iguales; significa quepara todos T en T .
De manera similar, si S y T son dos subconjuntos cualesquiera de X , entonces definen el mismo germen en x si nuevamente hay una vecindad U de x tal que
Es sencillo ver que definir el mismo germen en x es una relación de equivalencia (ya sea en mapas o conjuntos), y las clases de equivalencia se denominan gérmenes (map-germs, o set-germs en consecuencia). La relación de equivalencia generalmente se escribe
Dado un mapa f en X , entonces su germen en x generalmente se denota [ f ] x . De manera similar, el germen en x de un conjunto S se escribe [ S ] x . Por lo tanto,
Un germen de mapa en x en X que asigna el punto x en X al punto y en Y se denota como
Cuando se usa esta notación, f se entiende como una clase de equivalencia completa de mapas, usando la misma letra f para cualquier mapa representativo.
Observe que dos conjuntos son germen-equivalentes en x si y solo si sus funciones características son germen-equivalentes en x :
Más generalmente
Los mapas no necesitan estar definidos en todo X y, en particular, no necesitan tener el mismo dominio. Sin embargo, si f tiene dominio S y g tiene dominio T , ambos subconjuntos de X , a continuación, f y g son equivalentes germen en x en X si primero S y T son equivalentes germen en x , digamos y luego además , para un barrio V más pequeño con. Esto es particularmente relevante en dos entornos:
- f se define en una subvariedad V de X , y
- f tiene un polo de algún tipo en x , por lo que ni siquiera se define en x , como por ejemplo una función racional, que se definiría a partir de una subvariedad.
Propiedades básicas
Si f y g son germen equivalentes en x , entonces comparten todas las propiedades locales, como continuidad, diferenciabilidad, etc., por lo que tiene sentido hablar de un germen diferenciable o analítico , etc. De manera similar para los subconjuntos: si un representante de un germen es un conjunto analítico, entonces también lo son todos los representantes, al menos en alguna vecindad de x .
Estructuras algebraicas en el objetivo Y se heredan por el conjunto de los gérmenes con valores en Y . Por ejemplo, si el objetivo Y es un grupo , entonces tiene sentido multiplicar los gérmenes: para definir [ f ] x [ g ] x , primero tome los representantes f y g , definidos en los vecindarios U y V respectivamente, y defina [ f ] x [ g ] x es el germen en x del mapa de productos puntuales fg (que se define en). De la misma manera, si Y es un grupo abeliano , espacio vectorial o anillo , entonces también lo es el conjunto de gérmenes.
El conjunto de gérmenes en x de los mapas de X a Y no tiene una topología útil , excepto la discreta . Por tanto, tiene poco o ningún sentido hablar de una secuencia convergente de gérmenes. Sin embargo, si X e Y son múltiples, entonces los espacios de los chorros (series de Taylor de orden finito en x del mapa (-germs)) tienen topologías, ya que pueden identificarse con espacios vectoriales de dimensión finita.
Relación con las gavillas
La idea de los gérmenes está detrás de la definición de gavillas y pre-oleadas. Una gavilla de grupos abelianos en un espacio topológico X asigna un grupo abelianoa cada conjunto abierto U en X . Los ejemplos típicos de grupos abelianos aquí son: valores reales funciones en U , formas diferenciales en U , campos vectoriales en U , funciones holomorfas en U (cuando X es un espacio complejo), funciones constantes en U y los operadores diferenciales en U .
Si entonces hay un mapa de restricción satisfaciendo determinadas condiciones de compatibilidad . Para una x fija , se dice que los elementos y son equivalentes en x si hay una vecindadde x con res WU ( f ) = res WV ( g ) (ambos elementos de). Las clases de equivalencia forman el tallo en x de la gavilla. Esta relación de equivalencia es una abstracción de la equivalencia de gérmenes descrita anteriormente.
La interpretación de gérmenes a través de haces también da una explicación general de la presencia de estructuras algebraicas en conjuntos de gérmenes. La razón es que la formación de tallos conserva límites finitos. Esto implica que si T es una teoría de Lawvere y un haz F es un T- álgebra, entonces cualquier tallo F x también es un T -algebra.
Ejemplos de
Si y tienen una estructura adicional, es posible definir subconjuntos del conjunto de todos los mapas de X a Y o, de manera más general, sub- prehojas de una preheaf dada y gérmenes correspondientes: a continuación se presentan algunos ejemplos notables .
- Si son ambos espacios topológicos , el subconjunto
- de funciones continuas define gérmenes de funciones continuas .
- Si ambos y admitir una estructura diferenciable , el subconjunto
- de -veces funciones continuamente diferenciables , el subconjunto
- de funciones suaves y el subconjunto
- de funciones analíticas se pueden definir ( aquí está el ordinal para infinito; esto es un abuso de notación , por analogía con y ), Y los espacios luego de gérmenes de (finito) diferenciable , suavizar , funciones analíticas pueden ser construidos.
- Si tienen una estructura compleja (por ejemplo, son subconjuntos de espacios vectoriales complejos ), se pueden definir funciones holomorfas entre ellos, y por lo tanto se pueden construir espacios de gérmenes de funciones holomorfas .
- Si tienen una estructura algebraica , entonces se pueden definir funciones regulares (y racionales ) entre ellas, y se pueden definir gérmenes de funciones regulares (e igualmente racionales ).
- El germen de f : ℝ → Y en infinito positivo (o simplemente el germen de f ) es. Estos gérmenes se utilizan en análisis asintóticos y campos de Hardy .
Notación
El tallo de una gavilla en un espacio topológico en un punto de se denota comúnmente por Como consecuencia, los gérmenes, que constituyen tallos de haces de varios tipos de funciones, toman prestado este esquema de notación:
- es el espacio de gérmenes de funciones continuas en.
- por cada número natural es el espacio de los gérmenes de-funciones diferenciables en el tiempo en.
- es el espacio de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables ("suaves") en.
- es el espacio de gérmenes de funciones analíticas en.
- es el espacio de gérmenes de funciones holomorfas (en geometría compleja), o espacio de gérmenes de funciones regulares (en geometría algebraica) en.
Para los gérmenes de conjuntos y variedades, la notación no está tan bien establecida: algunas notaciones que se encuentran en la literatura incluyen:
- es el espacio de gérmenes de variedades analíticas en. Cuando el punto es fijo y conocido (por ejemplo, cuando es un espacio vectorial topológico y), se puede colocar en cada uno de los símbolos anteriores: también, cuando , se puede agregar un subíndice antes del símbolo. Como ejemplo
- son los espacios de los gérmenes que se muestran arriba cuando es un -espacio vectorial dimensional y.
Aplicaciones
La palabra clave en las aplicaciones de los gérmenes es localidad : todas las propiedades locales de una función en un punto pueden estudiarse analizando su germen . Son una generalización de la serie de Taylor y, de hecho, se define la serie de Taylor de un germen (de una función diferenciable): solo se necesita información local para calcular las derivadas.
Los gérmenes son útiles para determinar las propiedades de sistemas dinámicos cerca de puntos elegidos de su espacio de fase : son una de las herramientas principales en la teoría de la singularidad y la teoría de catástrofes .
Cuando los espacios topológicos considerados son superficies de Riemann o, más generalmente , variedades analíticas complejas , los gérmenes de funciones holomórficas sobre ellos pueden verse como series de potencia y, por lo tanto, el conjunto de gérmenes puede considerarse la continuación analítica de una función analítica .
Los gérmenes también se pueden utilizar en la definición de vectores tangentes en geometría diferencial. Un vector tangente puede verse como una derivación puntual en el álgebra de gérmenes en ese punto. [1]
Propiedades algebraicas
Como se señaló anteriormente, los conjuntos de gérmenes pueden tener estructuras algebraicas como anillos. En muchas situaciones, los anillos de gérmenes no son anillos arbitrarios, sino que tienen propiedades bastante específicas.
Suponga que X es un espacio de algún tipo. A menudo ocurre que, en cada x ∈ X , el anillo de gérmenes de funciones en x es un anillo local . Este es el caso, por ejemplo, de funciones continuas en un espacio topológico; para k veces funciones diferenciables, suaves o analíticas en una variedad real (cuando tales funciones están definidas); para funciones holomorfas en una variedad compleja; y para funciones regulares en una variedad algebraica. La propiedad de que los anillos de gérmenes son anillos locales está axiomatizada por la teoría de los espacios anillados localmente .
Los tipos de anillos locales que surgen, sin embargo, dependen estrechamente de la teoría en consideración. El teorema de la preparación de Weierstrass implica que los anillos de gérmenes de funciones holomorfas son anillos noetherianos . También se puede demostrar que se trata de anillos regulares . Por otro lado, dejaser el anillo de gérmenes en el origen de las funciones lisas en R . Este anillo es local pero no noetheriano. Para ver por qué, observe que el ideal máximo m de este anillo consiste en todos los gérmenes que desaparecen en el origen, y el poder m k consiste en aquellos gérmenes cuyas primeras derivadas k - 1 se desvanecen. Si este anillo fuera noetheriano, entonces el teorema de la intersección de Krull implicaría que una función suave cuya serie de Taylor desapareciera sería la función cero. Pero esto es falso, como puede verse al considerar
Este anillo tampoco es un dominio de factorización único . Esto se debe a que todas las UFD satisfacen la condición de cadena ascendente en los ideales principales , pero hay una cadena ascendente infinita de ideales principales.
Las inclusiones son estrictas porque x está en el ideal máximo m .
El anillo de gérmenes en el origen de funciones continuas en R incluso tiene la propiedad de que su ideal máximo m satisface m 2 = m . Cualquier germen f ∈ m puede escribirse como
donde sgn es la función de signo. Desde | f | desaparece en el origen, esto expresa f como el producto de dos funciones en m , de ahí la conclusión. Esto está relacionado con la configuración de la teoría casi del anillo .
Ver también
- Variedad analítica
- Teoría de la catástrofe
- Axioma de encolado
- Superficie de Riemann
- Gavilla
- Tallo
Referencias
- ^ Tu, LW (2007). Introducción a las variedades. Nueva York: Springer. pag. 11.
- Nicolas Bourbaki (1989). Topología general. Capítulos 1-4 (edición de bolsillo). Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2., capítulo I, párrafo 6, subpárrafo 10 " Gérmenes en un punto ".
- Raghavan Narasimhan (1973). Análisis de colectores reales y complejos (2ª ed.). Holanda Septentrional Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8., capítulo 2, párrafo 2.1, " Definiciones básicas ".
- Robert C. Gunning y Hugo Rossi (1965). Funciones analíticas de varias variables complejas . Prentice-Hall ., capítulo 2 " Anillos locales de funciones holomórficas ", especialmente párrafo A " Las propiedades elementales de los anillos locales " y párrafo E " Gérmenes de variedades ".
- Ian R. Porteous (2001) Diferenciación geométrica , página 71, Cambridge University PressISBN 0-521-00264-8 .
- Giuseppe Tallini (1973). Varietà differenziabili e coomologia di De Rham (Variedades diferenciables y cohomología de De Rham) . Edizioni Cremonese. ISBN 88-7083-413-1., párrafo 31, " Germi di funzioni differenziabili in un punto di (Gérmenes de funciones diferenciables en un punto de ) "(en italiano).
enlaces externos
- Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001) [1994], "Germ" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Germen de funciones suaves en PlanetMath .
- Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). "Sistemas de gérmenes y teoremas de ceros en espacios de dimensión infinita". arXiv : matemáticas / 0612355 . Bibcode : 2006math ..... 12355M . Cite journal requiere
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( ayuda )Un preimpreso de investigación que trata sobre gérmenes de variedades analíticas en un entorno dimensional infinito.