Colector de Stein

En la teoría de varias variables complejas y variedades complejas en matemáticas, una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas . Fueron introducidos y nombrados por Karl Stein  ( 1951 ). Un espacio Stein es similar a una variedad Stein pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son análogos de variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica.

Definición

Supongamos que es una variedad compleja de dimensión compleja y denotemos el anillo de funciones holomórficas en Llamamos una variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones:${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es holomórficamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto , el llamado casco holomórficamente convexo ,${\displaystyle K\subset X}$

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\left||f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

también es un subconjunto compacto de .${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es holomórficamente separable, es decir, si hay dos puntos en , entonces existe tal que${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Las superficies no compactas de Riemann son Stein

Sea X una superficie de Riemann conectada y no compacta . Un teorema profundo de Heinrich Behnke y Stein (1948) afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo paquete de vectores holomórficos en X es trivial. En particular, cada paquete de líneas es trivial, entonces . La secuencia exponencial de la gavilla conduce a la siguiente secuencia exacta:${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Ahora bien, el teorema B de Cartan muestra eso , por lo tanto .${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Esto está relacionado con la solución del segundo problema de Cousin .

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein

• El espacio complejo estándar es un colector Stein.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Cada dominio de holomorfía en una variedad de Stein.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Se puede demostrar con bastante facilidad que cada subvarietal complejo cerrado de una variedad Stein es también una variedad Stein.

• El teorema de incrustación para las variedades de Stein establece lo siguiente: Cada variedad de Stein de dimensión compleja puede integrarse mediante un mapa biholomórfico propio .${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada de espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiental (porque la incrustación es biholomórfica).

• Cada variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un Complejo CW n- dimensional.

• En una dimensión compleja, la condición Stein se puede simplificar: una superficie Riemann conectada es un colector Stein si y solo si no es compacta. Esto se puede demostrar usando una versión del teorema de Runge para superficies de Riemann, debido a Behnke y Stein.

• Cada variedad de Stein se puede extender holomórficamente, es decir, para cada punto , hay funciones holomórficas definidas en todas las cuales forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a alguna vecindad abierta de .${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

• Ser una variedad Stein es equivalente a ser una variedad (compleja) fuertemente pseudoconvexa . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), es decir, una función real suave en (que se puede suponer que es una función Morse ) con , de modo que los subconjuntos son compactos para cada número real . Ésta es una solución al llamado problema de Levi , ^[1] llamado así por EE Levi (1911). La función invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con un límite llamado${\displaystyle \psi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \psi }$Dominios Stein . Un dominio Stein es la preimagen . Algunos autores llaman a tales variedades, por lo tanto, variedades estrictamente pseudoconvexas.${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$

• Relacionado con el ítem anterior, otra definición equivalente y más topológica en la dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie Stein es una superficie compleja X con una función Morse de valor real f sobre X tal que, lejos de los puntos críticos de f , el El campo de tangencias complejas a la preimagen es una estructura de contacto que induce una orientación en X _{c que} coincide con la orientación habitual como límite de Es decir, es un relleno Stein de X _c .${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de tales variedades, en particular capturando la propiedad de tener "muchas" funciones holomórficas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de la gavilla . El ímpetu inicial fue tener una descripción de las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica .

En el conjunto de analogías de GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines .

Las variedades de Stein son en cierto sentido duales a las variedades elípticas en el análisis complejo que admiten "muchas" funciones holomórficas de los números complejos en sí mismas. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y sólo si es fibrante en el sentido de la llamada "teoría de la homotopía holomórfica".

Relación con las variedades suaves

Cada colector compacto y liso de dimensión 2n, que solo tiene manijas de índice ≤ n, tiene una estructura Stein siempre que n> 2, y cuando n = 2 se sostiene lo mismo siempre que las 2 manijas estén unidas con ciertos marcos (enmarcando menos que el Thurston –Encuadre de Beniquí ). ^{[2] [3]} Cada colector 4 liso cerrado es una unión de dos colectores Stein 4 pegados a lo largo de su límite común. ^[4]

Notas

1. Onishchik, AL (2001) [1994], "Problema de Levi" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
2. Yakov Eliashberg , Caracterización topológica de variedades de Stein de dimensión> 2, Revista Internacional de Matemáticas vol. 1, no 1 (1990) 29-46.
3. Robert Gompf , Construcción de cuerpo de manija de superficies Stein, Annals of Mathematics 148, (1998) 619-693.
4. Selman Akbulut y Rostislav Matveyev, Una descomposición convexa para cuatro variedades, Avisos internacionales de investigación en matemáticas (1998), n. ° 7, 371-381. Señor 1623402

Referencias

• Forster, Otto (1981), Conferencias sobre superficies de Riemann , Graduate Text in Mathematics, 81 , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (incluida una demostración de los teoremas de Behnke-Stein y Grauert-Röhrl)
• Hörmander, Lars (1990), Una introducción al análisis complejo en varias variables , North-Holland Mathematical Library, 7 , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR  1045639 (incluida una prueba del teorema de incrustación)
• Gompf, Robert E. (1998), "Construcción del cuerpo del mango de superficies Stein", Annals of Mathematics , Segunda serie, The Annals of Mathematics, vol. 148, No. 2, 148 (2): 619–693, arXiv : math / 9803019 , doi : 10.2307 / 121005 , ISSN  0003-486X , JSTOR  121005 , MR  1668563 (definiciones y construcciones de dominios y variedades de Stein en la dimensión 4)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Teoría de los espacios Stein , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, MR  0580152
• Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Matemáticas. Ana. (en alemán), 123 : 201–222, doi : 10.1007 / bf02054949 , MR  0043219