Funciones de Nash

En geometría algebraica real , una función de Nash en un subconjunto semialgebraico abierto U ⊂ R ⁿ es una función analítica f : U → R que satisface una ecuación polinomial no trivial P ( x , f ( x )) = 0 para todo x en U (Una función semialgebraica subconjunto de R ⁿ es un subconjunto obtenido de subconjuntos de la forma { x en R ⁿ : P ( x )=0} o { xen R ⁿ : P ( x ) > 0}, donde P es un polinomio, tomando uniones finitas, intersecciones finitas y complementos). Algunos ejemplos de funciones de Nash:

Las funciones de Nash son aquellas funciones necesarias para tener un teorema de función implícito en la geometría algebraica real.

Junto con las funciones de Nash, se definen las variedades de Nash , que son ^{subvariedades} analíticas semialgebraicas de algunos Rn . Un mapeo de Nash entre variedades de Nash es entonces un mapeo analítico con gráfico semialgebraico. Las funciones y variedades de Nash llevan el nombre de John Forbes Nash, Jr. , quien demostró (1952) que cualquier variedad compacta y suave admite una estructura de variedad de Nash, es decir, es difeomorfa a alguna variedad de Nash. De manera más general, una variedad suave admite una estructura de variedad de Nash si y solo si es difeomorfa al interior de alguna variedad suave compacta posiblemente con límite. El resultado de Nash fue posteriormente (1973) completado por Alberto Tognoli quien demostró que cualquier variedad compacta y suave es difeomorfa a alguna variedad algebraica real afín; en realidad, cualquier variedad de Nash es difeomorfa de Nash a una variedad algebraica real afín. Estos resultados ejemplifican el hecho de que la categoría de Nash es algo intermedia entre las categorías suave y algebraica.

Las propiedades locales de las funciones de Nash son bien conocidas. El anillo de gérmenes de funciones de Nash en un punto de una variedad de Nash de dimensión n es isomorfo al anillo de series de potencias algebraicas en n variables (es decir, aquellas series que satisfacen una ecuación polinomial no trivial), que es la henselización del anillo de gérmenes de funciones racionales. En particular, es un anillo local regular de dimensión n .

Las propiedades globales son más difíciles de obtener. El hecho de que el anillo de Nash funcione en una variedad de Nash (incluso no compacta) es noetheriano fue demostrado de forma independiente (1973) por Jean-Jacques Risler y Gustave Efroymson. Las variedades de Nash tienen propiedades similares pero más débiles que los teoremas A y B de Cartan en las variedades de Stein . Denotemos el haz de gérmenes de función de Nash en una variedad de Nash M , y sea un haz coherente de -ideales. Supongamos que es finita, es decir, existe una cobertura semialgebraica abierta finita de M tal que, para cada i , es generada por funciones de Nash en ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {yo}}$ ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {yo}}$ ${\ estilo de visualización \ {U_ {i} \}}$ ${\mathcal {I}}|_{U_{i}}$ $U_{yo}$ . Entonces es generado globalmente por las funciones de Nash en M , y el mapa natural ${\mathcal {yo}}$