En teoría de probabilidad y estadística , la distribución hipergeométrica negativa describe probabilidades de muestreo de una población finita sin reemplazo en la que cada muestra se puede clasificar en dos categorías mutuamente excluyentes como Pasa / No pasa, Hombre / Mujer o Empleado / Desempleado. A medida que se realizan selecciones aleatorias de la población, cada sorteo posterior disminuye la población, lo que hace que la probabilidad de éxito cambie con cada sorteo. A diferencia de la distribución hipergeométrica estándar , que describe el número de éxitos en un tamaño de muestra fijo, en la distribución hipergeométrica negativa, las muestras se extraen hasta se han encontrado fallas, y la distribución describe la probabilidad de encontrar éxitos en tal muestra. En otras palabras, la distribución hipergeométrica negativa describe la probabilidad de éxitos en una muestra con exactamente fracasos.
Hipergeométrico negativo Función de probabilidad |
Función de distribución acumulativa |
Parámetros | - número total de elementos - número total de elementos de 'éxito'
- número de fallas cuando se detiene el experimento |
---|
Apoyo | - número de éxitos cuando se detiene el experimento. |
---|
PMF | |
---|
Significar | |
---|
Diferencia | |
---|
Existen elementos, de los cuales se definen como "aciertos" y el resto son "fracasos".
Los elementos se dibujan uno tras otro, sin reemplazos, hasta quese encuentran fallas. Entonces, el dibujo se detiene y el númerode los éxitos se cuenta. La distribución hipergeométrica negativa,es la distribución discreta de este.
[1]
La distribución hipergeométrica negativa es un caso específico de la distribución binomial beta [2] con parámetros y siendo ambos enteros (y ).
El resultado requiere que observemos éxitos en dibuja y el bit debe ser un fracaso. La probabilidad de lo primero se puede encontrar mediante la aplicación directa de la distribución hipergeométrica y la probabilidad de esto último es simplemente el número de fallas restantes dividido por el tamaño de la población restante . La probabilidad de tener exactamente éxitos hasta el falla (es decir, el dibujo se detiene tan pronto como la muestra incluye el número predefinido de fallos) es entonces el producto de estas dos probabilidades:
Por lo tanto, una variable aleatoria sigue la distribución hipergeométrica negativa si su función de masa de probabilidad (pmf) está dada por
dónde
- es el tamaño de la población,
- es el número de estados de éxito en la población,
- es la cantidad de fallas,
- es el número de éxitos observados,
- es un coeficiente binomial
Por diseño, las probabilidades suman 1. Sin embargo, en caso de que queramos mostrarlo explícitamente, tenemos:
donde lo hemos usado,
que se puede derivar utilizando la identidad binomial ,y la identidad Chu-Vandermonde ,, que se aplica a cualquier valor complejo y y cualquier entero no negativo .
La relación También se puede encontrar examinando el coeficiente de en la expansión de , utilizando la serie binomial de Newton .
La varianza se puede derivar mediante el siguiente cálculo.
Entonces la varianza es
Si el dibujo se detiene después de un número constante de sorteos (independientemente del número de fracasos), entonces el número de éxitos tiene la distribución hipergeométrica ,. Las dos funciones están relacionadas de la siguiente manera: [1]
La distribución hipergeométrica negativa (como la distribución hipergeométrica) se ocupa de los sorteos sin reemplazo , por lo que la probabilidad de éxito es diferente en cada sorteo. Por el contrario, la distribución binomial negativa (como la distribución binomial) se ocupa de los sorteos con reemplazo , de modo que la probabilidad de éxito es la misma y los ensayos son independientes. La siguiente tabla resume las cuatro distribuciones relacionadas con los elementos de dibujo:
| Con reemplazos | Sin reemplazos |
---|
# de aciertos en # constante de sorteos | Distribución binomial | distribución hipergeométrica |
# de éxitos en constante # de fracasos | distribución binomial negativa | distribución hipergeométrica negativa |