En teoría de probabilidad y estadística , la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos antes de que ocurra un número específico (no aleatorio) de fracasos (denotado con r ). [2] Por ejemplo, podemos definir lanzar un 6 en un dado como un fracaso, y lanzar cualquier otro número como un éxito, y preguntar cuántas tiradas exitosas ocurrirán antes de que veamos el tercer fracaso ( r= 3). En tal caso, la distribución de probabilidad del número de no 6 que aparecen será una distribución binomial negativa. De manera similar, podríamos usar la distribución binomial negativa para modelar el número de días que funciona una determinada máquina antes de que se descomponga ( r = 1).
Diferentes textos (e incluso diferentes partes de este artículo) adoptan definiciones ligeramente diferentes para la distribución binomial negativa. Se pueden distinguir si el soporte comienza en k = 0 o en k = r , si p denota la probabilidad de éxito o de fracaso, y si r representa éxito o fracaso, [1] por lo que identificar la parametrización específica utilizada es crucial en cualquier texto dado. | |||
Función de probabilidad La línea naranja representa la media, que es igual a 10 en cada una de estas gráficas; la línea verde muestra la desviación estándar. | |||
Notación | |||
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Parámetros | r > 0 - número de fallas hasta que se detiene el experimento ( entero , pero la definición también se puede extender a reales ) p ∈ [0,1] - probabilidad de éxito en cada experimento (real) | ||
Apoyo | k ∈ {0, 1, 2, 3,…} - número de éxitos | ||
PMF | que implica un coeficiente binomial | ||
CDF | la función beta incompleta regularizada | ||
Significar | |||
Modo | |||
Diferencia | |||
Oblicuidad | |||
Ex. curtosis | |||
MGF | |||
CF | |||
PGF | |||
Información de Fisher | |||
Método de los momentos | |
"Éxito" y "fracaso" son términos arbitrarios que a veces se intercambian. Podríamos decir con la misma facilidad que la distribución binomial negativa es la distribución del número de fracasos antes de r éxitos. Cuando se aplican a problemas del mundo real, los resultados del éxito y el fracaso pueden o no ser resultados que normalmente vemos como buenos y malos, respectivamente. Este artículo es inconsistente en el uso de estos términos, por lo que el lector debe tener cuidado de identificar qué resultado puede variar en el número de ocurrencias y qué resultado detiene la secuencia de ensayos. El artículo también puede usar p (la probabilidad de uno de los resultados en cualquier ensayo de Bernoulli) de manera inconsistente.
La distribución de Pascal (después de Blaise Pascal ) y la distribución de Polya (para George Pólya ) son casos especiales de la distribución binomial negativa. Una convención entre ingenieros, climatólogos y otros es usar "binomio negativo" o "Pascal" para el caso de un parámetro de tiempo de parada con valor entero r , y usar "Polya" para el caso con valor real.
Para ocurrencias de eventos discretos asociados, como brotes de tornados, las distribuciones de Polya pueden usarse para dar modelos más precisos que la distribución de Poisson al permitir que la media y la varianza sean diferentes, a diferencia de Poisson. La distribución binomial negativa tiene una varianza, con la distribución volviéndose idéntica a Poisson en el límite para una media dada . Esto puede hacer que la distribución sea una alternativa sobredispersa útil a la distribución de Poisson, por ejemplo, para una modificación robusta de la regresión de Poisson . En epidemiología se ha utilizado para modelar la transmisión de enfermedades infecciosas en las que el número probable de infecciones posteriores puede variar considerablemente de un individuo a otro y de un entorno a otro. [3] De manera más general, puede ser apropiado cuando los eventos tienen ocurrencias correlacionadas positivamente que causan una varianza mayor que si las ocurrencias fueran independientes, debido a un término de covarianza positivo .
El término "binomio negativo" probablemente se deba al hecho de que un cierto coeficiente binomial que aparece en la fórmula para la función de masa de probabilidad de la distribución se puede escribir de manera más simple con números negativos. [4]
Definiciones
A diferencia de la introducción y el cuadro de información, esta sección usa "éxito" para referirse al resultado limitante. En otras palabras, esta sección trata de una secuencia de ensayos que se detiene después de r éxitos. Esta terminología puede ser incompatible con otras partes del artículo.
Suponga que hay una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes . Cada ensayo tiene dos resultados potenciales llamados "éxito" y "fracaso". En cada ensayo, la probabilidad de éxito es py de fracaso es (1 - p ). Observamos esta secuencia hasta que se ha producido un número r predefinido de éxitos. Entonces, el número aleatorio de fallas que hemos visto, X , tendrá la distribución binomial negativa (o Pascal ):
Función de probabilidad
La función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa es [ aclaración necesaria ]
donde r es el número de éxitos, k es el número de fracasos yp es la probabilidad de éxito. Aquí la cantidad entre paréntesis es el coeficiente binomial , y es igual a
Hay k fallas elegidas de k + r-1 muestras en lugar de k + r porque la última de las k + r muestras es, por definición, un éxito.
Esta cantidad se puede escribir alternativamente de la siguiente manera, explicando el nombre "binomio negativo":
Nótese que por la última expresión y la serie binomial , para cada 0 ≤ p <1 y,
por lo tanto, los términos de la función de masa de probabilidad suman uno como se muestra a continuación.
Para comprender la definición anterior de la función de masa de probabilidad, tenga en cuenta que la probabilidad de cada secuencia específica de r éxitos y k fracasos es p r (1 - p ) k , porque se supone que los resultados de los k + r ensayos suceden de forma independiente . Dado que el r- ésimo éxito siempre es el último, queda elegir los k ensayos con fallas de los k + r - 1 ensayos restantes . El coeficiente binomial anterior, debido a su interpretación combinatoria, da precisamente el número de todas estas secuencias de longitud k + r - 1.
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa se puede expresar en términos de la función beta incompleta regularizada :
También se puede expresar en términos de la función de distribución acumulada de la distribución binomial : [5]
Formulaciones alternativas
Algunas fuentes pueden definir la distribución binomial negativa de forma ligeramente diferente a la principal aquí. Las variaciones más comunes son aquellas en las que la variable aleatoria X cuenta cosas diferentes. Estas variaciones se pueden ver en la tabla aquí:
X está contando ... | Función de probabilidad | Fórmula | Fórmula alternativa (usando binomio equivalente) | Fórmula alternativa (simplificado usando: ) | Apoyo | |
1 | k fracasos, dados r éxitos | [6] [7] [8] | [9] [10] [11] [12] | |||
2 | n ensayos, dados r éxitos | [7] [12] [13] [14] [15] | ||||
3 | n ensayos, dados r fracasos | |||||
4 | r éxitos, dados n ensayos | Esta es la distribución binomial : |
Cada una de estas definiciones de distribución binomial negativa se puede expresar de formas ligeramente diferentes pero equivalentes. La primera formulación alternativa es simplemente una forma equivalente del coeficiente binomial, es decir:. La segunda formulación alternativa simplifica un poco la expresión al reconocer que el número total de ensayos es simplemente el número de éxitos y fracasos, es decir:. Estas segundas formulaciones pueden ser más intuitivas de entender, sin embargo, quizás sean menos prácticas ya que tienen más términos.
- La definición donde X es el número de k fallas que ocurren para un número dado de r éxitos . Esta definición es muy similar a la definición principal utilizada en este artículo, solo que k éxitos y r fracasos se cambian al considerar lo que se cuenta y lo que se da. Sin embargo, tenga en cuenta que p todavía se refiere a la probabilidad de "éxito".
- La definición donde X es el número de n ensayos que ocurren para un número dado de r éxitos . Esta definición es muy similar a la definición n. ° 2, solo que se dan r éxitos en lugar de k fracasos. Sin embargo, tenga en cuenta que p todavía se refiere a la probabilidad de "éxito".
- La definición de distribución binomial negativa puede extenderse al caso en que el parámetro r puede tomar un valor real positivo . Aunque es imposible visualizar un número no entero de "fallas", aún podemos definir formalmente la distribución a través de su función de masa de probabilidad. El problema de extender la definición a r de valor real (positivo) se reduce a extender el coeficiente binomial a su contraparte de valor real, basado en la función gamma :
- Después de sustituir esta expresión en la definición original, decimos que X tiene una distribución binomial negativa (o Pólya ) si tiene una función de masa de probabilidad :
- Aquí r es un número positivo real.
En la regresión binomial negativa, [16] la distribución se especifica en términos de su media,, que luego se relaciona con variables explicativas como en la regresión lineal u otros modelos lineales generalizados . De la expresión para la media m , se puede derivar y . Luego, sustituyendo estas expresiones en una para la función de masa de probabilidad cuando r es de valor real , se obtiene esta parametrización de la función de masa de probabilidad en términos de m :
Entonces, la varianza se puede escribir como . Algunos autores prefieren establecery exprese la varianza como . En este contexto, y dependiendo del autor, el parámetro ro su α recíproco se denomina "parámetro de dispersión", "parámetro de forma" o "coeficiente de agrupamiento", [17] o "heterogeneidad" [16] o parámetro de "agregación". [11] El término "agregación" se usa particularmente en ecología cuando se describen recuentos de organismos individuales. La disminución del parámetro de agregación r hacia cero corresponde a una agregación creciente de los organismos; el aumento de r hacia el infinito corresponde a la ausencia de agregación, como puede describirse mediante la regresión de Poisson .
- A veces, la distribución se parametriza en términos de su media μ y varianza σ 2 :
Ejemplos de
Vendiendo dulces
Se requiere que Pat Collis venda barras de chocolate para recaudar dinero para la excursión de 6º grado. Hay treinta casas en el vecindario, y se supone que Pat no regresará a casa hasta que se hayan vendido cinco barras de chocolate. Entonces el niño va de puerta en puerta, vendiendo golosinas. En cada casa, hay una probabilidad de 0.6 de vender una barra de chocolate y una probabilidad de 0.4 de no vender nada.
¿Cuál es la probabilidad de que la venta de la última barra de chocolate en el n º casa?
Vender caramelos con éxito suficientes veces es lo que define nuestro criterio de parada (en lugar de no venderlos), por lo que k en este caso representa el número de fracasos y r representa el número de éxitos. Recuerde que la distribución NegBin ( r , p ) describe la probabilidad de k fracasos y r éxitos en k + r ensayos de Bernoulli ( p ) con éxito en el último ensayo. Vender cinco barras de chocolate significa obtener cinco éxitos. El número de ensayos (es decir, casas) que se necesitan es, por tanto, k + 5 = n . La variable aleatoria que nos interesa es el número de casas, así que sustituimos k = n - 5 en una función de masa NegBin (5, 0.4) y obtenemos la siguiente función de masa de la distribución de casas (para n ≥ 5):
¿Cuál es la probabilidad de que Pat termine en la décima casa?
¿Cuál es la probabilidad de que Pat termine antes de llegar a la octava casa?
Para terminar en la octava casa o antes, Pat debe terminar en la quinta, sexta, séptima u octava casa. Sume esas probabilidades:
¿Cuál es la probabilidad de que Pat agote las 30 casas del vecindario?
Esto se puede expresar como la probabilidad de que Pat no termine de la quinta a la trigésima casa:
Debido a la probabilidad bastante alta de que Pat venda en cada casa (60 por ciento), la probabilidad de que NO cumpla su misión es extremadamente pequeña.
Duración de la estancia hospitalaria
La duración de la estancia hospitalaria es un ejemplo de datos del mundo real que se pueden modelar bien con una distribución binomial negativa. [18]
Propiedades
Expectativa
El número total esperado de éxitos en una distribución binomial negativa con parámetros ( r , p ) es rp / (1 - p ). Para ver esto, imagine que un experimento que simula el binomio negativo se realiza muchas veces. Es decir, se realiza un conjunto de ensayos hasta que se obtienen r fallos, luego otro conjunto de ensayos, y luego otro, etc. Anote el número de ensayos realizados en cada experimento: a , b , c ,… y establezca a + b + c + ... = N . Ahora esperaríamos unos éxitos de Np en total. Digamos que el experimento se realizó n veces. Luego hay nr fallas en total. Entonces esperaríamos nr = N (1 - p ) , entonces N / n = r / (1 - p ) . Vea que N / n es solo el número promedio de ensayos por experimento. Eso es lo que entendemos por "expectativa". El número medio de éxitos por experimento es N / n - r = r / (1 - p ) - r = rp / (1 - p ) . Esto concuerda con la media dada en el recuadro del lado derecho de esta página.
Diferencia
Al contar el número de éxitos dado el número r de fracasos, la varianza es rp / (1 - p ) 2 . Al contar el número de fallas antes del r -ésimo éxito, la varianza es r (1 - p ) / p 2 .
Relación con el teorema del binomio
Suponga que Y es una variable aleatoria con una distribución binomial con parámetros n y p . Suponga que p + q = 1, con p , q ≥ 0, entonces
Usando el teorema del binomio de Newton , esto se puede escribir igualmente como:
en el que el límite superior de la suma es infinito. En este caso, el coeficiente binomial
se define cuando n es un número real, en lugar de solo un entero positivo. Pero en nuestro caso de la distribución binomial es cero cuando k > n . Entonces podemos decir, por ejemplo
Ahora suponga que r > 0 y usamos un exponente negativo:
Entonces todos los términos son positivos y el término
es solo la probabilidad de que el número de fallas antes del r- ésimo éxito sea igual a k , siempre que r sea un número entero. (Si r es un no entero negativo, de modo que el exponente es un no entero positivo, entonces algunos de los términos en la suma anterior son negativos, por lo que no tenemos una distribución de probabilidad en el conjunto de todos los enteros no negativos).
Ahora también permitimos valores no enteros de r . Entonces tenemos una distribución binomial negativa adecuada, que es una generalización de la distribución de Pascal, que coincide con la distribución de Pascal cuando r resulta ser un número entero positivo.
Recuerda desde arriba que
- La suma de variables aleatorias negativo-binomial distribuidos independientes r 1 y r 2 con el mismo valor para el parámetro p es negativo-binomial distribuye con el mismo p pero con r -valor r 1 + r 2 .
Esta propiedad persiste cuando la definición se generaliza de este modo y proporciona una forma rápida de ver que la distribución binomial negativa es infinitamente divisible .
Relación de recurrencia
Se cumple la siguiente relación de recurrencia :
Distribuciones relacionadas
- La distribución geométrica (en {0, 1, 2, 3, ...}) es un caso especial de distribución binomial negativa, con
- La distribución binomial negativa es un caso especial de la distribución de tipo de fase discreta .
- La distribución binomial negativa es un caso especial de distribución de Poisson compuesta discreta .
distribución de veneno
Considere una secuencia de variables aleatorias binomiales negativas donde el parámetro de parada r va a infinito, mientras que la probabilidad de éxito en cada ensayo, p , va a cero de tal manera que se mantiene constante la media de la distribución. Denotando esta media como λ , el parámetro p será p = λ / ( r + λ )
Bajo esta parametrización, la función de masa de probabilidad será
Ahora, si consideramos el límite como r → ∞, el segundo factor convergerá en uno y el tercero en la función exponente:
que es la función de masa de una variable aleatoria distribuida por Poisson con valor esperado λ .
En otras palabras, la distribución binomial negativa parametrizada alternativamente converge a la distribución de Poisson y r controla la desviación de Poisson. Esto hace que la distribución binomial negativa sea adecuada como una alternativa robusta a la de Poisson, que se acerca a la de Poisson para r grande , pero que tiene una varianza mayor que la de Poisson para r pequeña .
Mezcla Gamma-Poisson
La distribución binomial negativa también surge como una mezcla continua de distribuciones de Poisson (es decir, una distribución de probabilidad compuesta ) donde la distribución de mezcla de la tasa de Poisson es una distribución gamma . Es decir, podemos ver el binomio negativo como una distribución de Poisson ( λ ) , donde λ es en sí misma una variable aleatoria, distribuida como una distribución gamma con forma = r y escala θ = p / (1 - p ) o, en consecuencia, tasa β = (1 - p ) / p .
Para mostrar la intuición detrás de esta afirmación, considere dos procesos de Poisson independientes, "Éxito" y "Fracaso", con intensidades py 1 - p . Juntos, los procesos de éxito y fracaso son equivalentes a un solo proceso de Poisson de intensidad 1, donde una ocurrencia del proceso es un éxito si el lanzamiento de una moneda independiente correspondiente sale cara con probabilidad p ; de lo contrario, es un fracaso. Si r es un número de conteo, los lanzamientos de moneda muestran que el conteo de éxitos antes del r- ésimo fracaso sigue una distribución binomial negativa con los parámetros r y p . El recuento es también, sin embargo, el recuento del proceso de Poisson éxito en el momento aleatoria T de la r ° ocurrencia en el proceso de Poisson fracaso. El recuento de éxitos sigue una distribución de Poisson con pT medio , donde T es el tiempo de espera para r ocurrencias en un proceso de Poisson de intensidad 1 - p , es decir, T tiene distribución gamma con parámetro de forma r e intensidad 1 - p . Por lo tanto, la distribución binomial negativa es equivalente a una distribución de Poisson con pT medio , donde la variable aleatoria T tiene una distribución gamma con el parámetro de forma r e intensidad (1 - p ) / p . El párrafo anterior sigue, porque λ = pT tiene distribución gamma con parámetro de forma r e intensidad (1 - p ) / p .
La siguiente derivación formal (que no depende de que r sea un número de conteo) confirma la intuición.
Debido a esto, la distribución binomial negativa también se conoce como distribución gamma-Poisson (mezcla) . La distribución binomial negativa se derivó originalmente como un caso límite de la distribución gamma-Poisson. [19]
Distribución de una suma de variables aleatorias distribuidas geométricamente
Si Y r es una variable aleatoria que sigue la distribución binomial negativa con parámetros r y p , y admite {0, 1, 2, ...}, entonces Y r es una suma de r variables independientes que siguen la distribución geométrica (en {0 , 1, 2, ...}) con el parámetro p . Como resultado del teorema del límite central , Y r (correctamente escalado y desplazado) es aproximadamente normal para r suficientemente grande .
Además, si B s + r es una variable aleatoria que sigue la distribución binomial con parámetros s + r y 1 - p , entonces
En este sentido, la distribución binomial negativa es la "inversa" de la distribución binomial.
La suma de variables aleatorias negativo-binomial distribuidos independientes r 1 y r 2 con el mismo valor para el parámetro p es negativo-binomial distribuye con el mismo p pero con r -valor r 1 + r 2 .
La distribución binomial negativa es infinitamente divisible , es decir, si Y tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n , existen variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica Y 1 , ..., Y n cuya suma tiene la misma distribución que Y tiene .
Representación como distribución de Poisson compuesta
La distribución binomial negativa NB ( r , p ) se puede representar como una distribución de Poisson compuesta : Sea { Y n , n ∈ ℕ 0 una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una con la distribución logarítmica Log ( p ), con función de masa de probabilidad
Sea N una variable aleatoria, independiente de la secuencia, y suponga que N tiene una distribución de Poisson con media λ = - r ln (1 - p ) . Entonces la suma aleatoria
se distribuye NB ( r , p ). Para probar esto, calculamos la función generadora de probabilidad G X de X , que es la composición de las funciones generadoras de probabilidad G N y G Y 1 . Utilizando
y
obtenemos
que es la función generadora de probabilidad de la distribución NB ( r , p ).
La siguiente tabla describe cuatro distribuciones relacionadas con el número de éxitos en una secuencia de sorteos:
Con reemplazos | Sin reemplazos | |
---|---|---|
Dado el número de sorteos | Distribución binomial | distribución hipergeométrica |
Dado el número de fallas | distribución binomial negativa | distribución hipergeométrica negativa |
(a, b, 0) clase de distribuciones
El binomio negativo, junto con las distribuciones de Poisson y binomial, es un miembro de la clase de distribuciones (a, b, 0) . Las tres distribuciones son casos especiales de la distribución Panjer . También son miembros de la familia exponencial natural .
Inferencia estadística
Estimación de parámetros
MVUE para p
Suponga que p es desconocido y se realiza un experimento en el que se decide de antemano que el muestreo continuará hasta que se encuentren r éxitos. Una estadística suficiente para el experimento es k , el número de fallas.
Al estimar p , el estimador insesgado de varianza mínima es
Estimación de máxima verosimilitud
Cuando se conoce r , la estimación de máxima verosimilitud de p es
pero esta es una estimación sesgada . Sin embargo, su inversa ( r + k ) / r es una estimación insesgada de 1 / p . [20]
Cuando r es desconocida, el estimador de máxima verosimilitud para p y r juntos sólo existe para muestras para las que la varianza de la muestra es mayor que la media de la muestra. [21] La función de verosimilitud para las observaciones N iid ( k 1 , ..., k N ) es
a partir del cual calculamos la función logarítmica de verosimilitud
Para encontrar el máximo, tomamos las derivadas parciales con respecto a r y py las igualamos a cero:
- y
dónde
- es la función digamma .
Resolviendo la primera ecuación para p da:
Sustituyendo esto en la segunda ecuación se obtiene:
Esta ecuación no se puede resolver para r en forma cerrada . Si se desea una solución numérica, se puede utilizar una técnica iterativa como el método de Newton . Alternativamente, se puede utilizar el algoritmo de maximización de expectativas . [21]
Ocurrencia y aplicaciones
Tiempo de espera en un proceso de Bernoulli
Para el caso especial donde r es un número entero, la distribución binomial negativa se conoce como distribución Pascal . Es la distribución de probabilidad de un cierto número de fracasos y éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos . Para k + r ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p , el binomio negativo da la probabilidad de k éxitos y r fracasos, con un fracaso en el último ensayo. En otras palabras, la distribución binomial negativa es la distribución de probabilidad del número de éxitos antes del r- ésimo fracaso en un proceso de Bernoulli , con probabilidad p de éxitos en cada ensayo. Un proceso de Bernoulli es un proceso de tiempo discreto , por lo que el número de intentos, fracasos y éxitos son números enteros.
Considere el siguiente ejemplo. Supongamos que lanzamos un dado repetidamente y consideramos que un 1 es un fracaso. La probabilidad de éxito en cada prueba es 5/6. El número de éxitos antes del tercer error pertenece al conjunto infinito {0, 1, 2, 3, ...}. Ese número de éxitos es una variable aleatoria con distribución binomial negativa.
Cuando r = 1 obtenemos la distribución de probabilidad del número de éxitos antes de la primera falla (es decir, la probabilidad de que ocurra la primera falla en la ( k + 1) prueba), que es una distribución geométrica :
Poisson demasiado disperso
La distribución binomial negativa, especialmente en su parametrización alternativa descrita anteriormente, se puede utilizar como una alternativa a la distribución de Poisson. Es especialmente útil para datos discretos sobre un rango positivo ilimitado cuya varianza muestral excede la media muestral . En tales casos, las observaciones se dispersan en exceso con respecto a una distribución de Poisson, para la cual la media es igual a la varianza. Por tanto, una distribución de Poisson no es un modelo apropiado. Dado que la distribución binomial negativa tiene un parámetro más que el de Poisson, el segundo parámetro se puede utilizar para ajustar la varianza independientemente de la media. Consulte Acumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas .
Una aplicación de esto es a los conteos anuales de ciclones tropicales en el Atlántico Norte oa los conteos mensuales a semestrales de ciclones extratropicales de invierno en Europa, para los cuales la varianza es mayor que la media. [22] [23] [24] En el caso de una sobredispersión modesta, esto puede producir resultados sustancialmente similares a una distribución de Poisson sobredispersa. [25] [26]
La distribución binomial negativa también se usa comúnmente para modelar datos en forma de recuentos de lectura de secuencia discreta de experimentos de secuenciación de ADN y ARN de alto rendimiento. [27] [28] [29]
Historia
Esta distribución fue estudiada por primera vez en 1713, por Montmort, como la distribución del número de ensayos necesarios en un experimento para obtener un número determinado de éxitos. [30] Pascal lo había mencionado anteriormente . [31]
Ver también
- Problema del cobrador de cupones
- Distribución binomial beta negativa
- Distribución binomial negativa extendida
- Distribución multinomial negativa
- Distribución binomial
- distribución de veneno
- Distribución de Poisson compuesta
- Familia exponencial
- Regresión binomial negativa
- Modelo lineal generalizado vectorial
Referencias
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