Sistema de vecindad

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En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el sistema de vecindad , sistema completo de vecindades , ^[1] o filtro de vecindad para un punto es la colección de todas las vecindades del punto. ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x.}$

Un vecindad abierta de un subconjuntode unespacio topológicoes cualquierconjuntoabiertotal que A${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle S \ subseteq V.}$vecindario de${\ Displaystyle S}$enescualquiersubconjuntoquecontengaalgúnvecindario abierto de; explícitamente, esto significa quees una vecindad deensi y solo si existe algún conjunto abiertotal que ^{[2] [3]} El sistema de vecindad para cualquier conjunto no vacíoes unfiltrollamado filtro de vecindad paraEl filtro de vecindad para un puntoes el mismo que el filtro de vecindad delconjunto singleton${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T \ subseteq X}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T \ subseteq X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle S \ subseteq V \ subseteq T \ subseteq X.}$${\ Displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Es importante destacar que un "vecindario" no tiene por qué ser un conjunto abierto; esos barrios que también son conjuntos abiertos se conocen como "barrios abiertos". Del mismo modo, aquellos barrios que también resultan ser conjuntos cerrados se conocen comobarrios cerrados . Hay muchos otros tipos de vecindarios que se utilizan en Topología y campos relacionados como elanálisis funcional. La familia de todos los vecindarios que tienen cierta propiedad "útil" a menudo forma una base de vecindario, aunque muchas veces, estos vecindarios no son necesariamente abiertos.

A base de vecindario obase local (obase de barrio obase local ) para un puntoes unabasedefiltrodelfiltrode vecindad; esto significa que es un subconjunto${\displaystyle x}$

De manera equivalente, es una base local en si y solo si se puede recuperar el filtro de vecindad en el sentido de que se cumple la siguiente igualdad: ^[4]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

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