En matemáticas , un filtro es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado . Los filtros aparecen en orden y teoría de celosía , pero también se pueden encontrar en la topología , de donde se originan. La noción dual de filtro es un ideal de orden .
Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 [1] [2] y posteriormente utilizados por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de una red desarrollada en 1922 por EH Moore y HL Smith .
Motivación
Intuitivamente, un filtro en un conjunto parcialmente ordenado ( poset ), P , es un subconjunto de P que incluye como miembros aquellos elementos que son lo suficientemente grandes para satisfacer algún criterio dado. Por ejemplo, si x es un elemento del poset, entonces el conjunto de elementos que están por encima de x es un filtro, llamado filtro principal en x . (Si x y y son elementos incomparables de la poset, entonces ninguno de los principales filtros en x y y está contenido en el otro, y viceversa.)
Del mismo modo, un filtro en un conjunto contiene aquellos subconjuntos que son suficientemente grandes como para contener algo dado cosa . Por ejemplo, si el conjunto es la recta real y x es uno de sus puntos, entonces la familia de conjuntos que incluye x en su interior es un filtro, llamado filtro de vecindades de x . La cosa en este caso es un poco más grande que x , pero todavía no contiene ningún otro punto específico de la línea.
Las interpretaciones anteriores explican las condiciones 1 y 3 en la sección Definición general : Claramente, el conjunto vacío no es "suficientemente grande", y claramente la colección de cosas "suficientemente grandes" debe estar "cerrada hacia arriba". Sin embargo, no explican realmente, sin mayor detalle, la condición 2 de la definición general. Porque, ¿por qué dos cosas "suficientemente grandes" deben contener una cosa común "suficientemente grande"?
Alternativamente, un filtro puede verse como un "esquema de localización": cuando intente localizar algo (un punto o un subconjunto) en el espacio X , llame a un filtro la colección de subconjuntos de X que podrían contener "lo que se busca". Entonces este "filtro" debe poseer la siguiente estructura natural:
- Un esquema de localización no debe estar vacío para que sea de alguna utilidad.
- Si dos subconjuntos, E y F , ambos podrían contener "lo que se busca", entonces también podría su intersección. Por tanto, el filtro debe cerrarse con respecto a la intersección finita.
- Si un conjunto E puede contener "lo que se busca", también lo hace cada superconjunto. Por tanto, el filtro se cierra hacia arriba.
Un ultrafiltro puede ser visto como un "esquema de localización perfecta", donde cada subconjunto E del espacio X se puede utilizar para decidir si "lo que se busca" podría estar en E .
A partir de esta interpretación, la compacidad (ver la caracterización matemática a continuación) puede verse como la propiedad de que "ningún esquema de ubicación puede terminar sin nada" o, para decirlo de otra manera, "siempre se encontrará algo".
La noción matemática de filtro proporciona un lenguaje preciso para tratar estas situaciones de manera rigurosa y general, lo cual es útil en análisis, topología general y lógica.
Definición general: Filtrar en un conjunto parcialmente ordenado
Un subconjunto F de un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) es un filtro si se cumplen las siguientes condiciones:
- F no está vacío .
- F está dirigido hacia abajo : para cada x , y ∈ F , hay algo de z ∈ F tal que z ≤ x y z ≤ y .
- F es un conjunto superior o hacia arriba cerrado : Por cada x ∈ F y y ∈ P , x ≤ y implica que y ∈ F .
Un filtro es apropiado si no es igual al conjunto P completo . Esta condición a veces se agrega a la definición de un filtro.
Si bien la definición anterior es la forma más general de definir un filtro para posets arbitrarios , originalmente se definió solo para celosías . En este caso, la definición anterior se puede caracterizar por la siguiente declaración equivalente: Un subconjunto F de una red ( P , ≤) es un filtro, si y solo si es un conjunto superior no vacío que está cerrado bajo infima finito ( o cumple ), es decir, para todos los x , y ∈ F , también es el caso de que x ∧ y está en F . [3] Un subconjunto S de F es una base de filtro si el conjunto superior generada por S es todo de F . Tenga en cuenta que cada filtro tiene su propia base.
El filtro más pequeño que contiene un elemento dado p ∈ P es un filtro de director y p es un elemento principal en esta situación. El filtro principal para p viene dado por el conjuntoy se denota anteponiendo p con una flecha hacia arriba:.
La noción dual de filtro, es decir, el concepto que se obtiene invirtiendo todo ≤ e intercambiando ∧ por ∨, es ideal . Debido a esta dualidad, la discusión de los filtros generalmente se reduce a la discusión de los ideales. Por lo tanto, la mayor parte de la información adicional sobre este tema (incluida la definición de filtros máximos y filtros principales ) se puede encontrar en el artículo sobre ideales . Hay un artículo separado sobre ultrafiltros .
Filtrar en un conjunto
Definición de un filtro
Hay dos definiciones en competencia de un "filtro en un conjunto", y ambas requieren que un filtro sea un ideal dual . [4] Una definición define "filtro" como sinónimo de "ideal dual" mientras que la otra define "filtro" para significar un ideal dual que también es apropiado .
- Advertencia : Se recomienda que los lectores siempre verifiquen cómo se define "filtro" al leer literatura matemática.
Definición : Un ideal dual [4] en un conjunto S es un subconjunto no vacío F de P ( S ) con las siguientes propiedades:
- F está cerrado bajo intersecciones finitas : si A , B ∈ F , entonces también lo es su intersección.
- Esta propiedad implica que si ∅ ∉ F entonces F tiene la propiedad de intersección finita .
- F está cerrada hacia arriba / isotone : [5] Si A ∈ F y A ⊆ B , entonces B ∈ F , para todos los subconjuntos B de S . .
- Esta propiedad implica que S ∈ F (ya que F es un subconjunto no vacío de P ( S ) ).
Dado un conjunto S , se puede definir un ordenamiento parcial canónico ⊆ en el conjunto de potencias P ( S ) mediante la inclusión de un subconjunto, convirtiendo ( P ( S ), ⊆) en una red. Un "ideal dual" es solo un filtro con respecto a este ordenamiento parcial. Tenga en cuenta que si S = ∅, entonces hay exactamente un ideal dual en S , que es P ( S ) = {∅} .
Definición de filtro 1: ideal doble
El artículo utiliza la siguiente definición de "filtrar en un conjunto".
Definición : Un filtro en un conjunto S es un doble ideal, en S . De manera equivalente, un filtro en S es solo un filtro con respecto al ordenamiento parcial canónico ( P ( S ), ⊆) descrito anteriormente.
Definición de filtro 2: ideal dual adecuado
La otra definición de "filtro en un conjunto" es la definición original de un "filtro" dada por Henri Cartan , que requería que un filtro en un conjunto sea un ideal dual que no contenga el conjunto vacío:
- Nota : este artículo no requiere que un filtro sea adecuado.
El único filtro inadecuado en S es P ( S ) . Gran parte de la literatura matemática, especialmente la relacionada con la topología , define "filtro" como un ideal dual no degenerado .
Filtrar bases, subbases y comparación
- Filtrar bases y subbases
Un subconjunto B de P ( S ) se llama un prefiltro , la base del filtro , o base de filtro si B no está vacío y la intersección de cualquiera de los dos miembros de B es un superconjunto de algunos miembros (s) de B . Si el conjunto vacío no es miembro de B , decimos que B es una base de filtro adecuada .
Dada una base del filtro B , el filtro generado o abarcado por B se define como la mínima del filtro que contiene B . Es la familia de todos los subconjuntos de S , que son superconjuntos de algún miembro (s) de B . Cada filtro es también una base de filtro, por lo que el proceso de pasar de la base del filtro al filtro puede verse como una especie de finalización.
Para cada subconjunto T de P ( S ) hay una más pequeña (posiblemente nonproper) filtro F que contiene T , llamado el filtro generado o abarcado por T . Del mismo modo que para un filtro atravesado por un base del filtro , un filtro atravesado por un subconjunto T es el filtro mínimo que contiene T . Se construye tomando todas las intersecciones finitas de T , que luego forman una base del filtro para F . Este filtro es apropiado si y solo si cada intersección finita de elementos de T no está vacía, y en ese caso decimos que T es una subbase de filtro .
- Bases de filtro más finas / equivalentes
Si B y C son dos bases de filtro en S , se dice que C es más fino que B (o que C es un refinamiento de B ) si para cada B 0 ∈ B , hay un C 0 ∈ C tal que C 0 ⊆ B 0 . Si además B es más fino que C , se dice que son bases de filtro equivalentes .
- Si B y C son bases de filtro, entonces C es más fina que B si y sólo si el filtro atravesado por C contiene el filtro atravesado por B . Por lo tanto, B y C son bases de filtro equivalentes si y solo si generan el mismo filtro.
- Para bases de filtro A , B , y C , si A es más fino que B y B es más fina que C entonces A es más fino que C . Por tanto, la relación de refinamiento es un preorden en el conjunto de bases de filtro, y el paso de la base del filtro al filtro es una instancia de pasar de un preorden al ordenamiento parcial asociado.
Ejemplos de
- Deje que S sea un conjunto y C un subconjunto no vacío de S . Entonces { C } es una base de filtro. El filtro genera (es decir, la colección de todos los subconjuntos que contienen C ) se denomina filtro director generada por C .
- Se dice que un filtro es un filtro libre si la intersección de todos sus miembros está vacía. Un filtro principal adecuado no es gratuito. Dado que la intersección de cualquier número finito de miembros de un filtro también es un miembro, ningún filtro adecuado en un conjunto finito es libre y, de hecho, es el filtro principal generado por la intersección común de todos sus miembros. Un filtro no principal en un conjunto infinito no es necesariamente gratuito.
- El filtro de Fréchet en un conjunto infinito S es el conjunto de todos los subconjuntos de S que tienen complemento finito. Un filtro en S es gratuito si y solo si incluye el filtro Fréchet.
- De manera más general, si es un espacio de medida para el cual, la colección de todos tal que forma un filtro. El filtro Fréchet es el caso donde y es la medida del conteo .
- Cada estructura uniforme en un conjunto X es un filtro en X × X .
- Se puede crear un filtro en un poset usando el lema Rasiowa-Sikorski , que se usa a menudo para forzar .
- El conjunto se llama filtro de base de colas de la secuencia de números naturales. Se puede hacer una base de filtro de colas de cualquier red. usando la construcción , donde el filtro que genera esta base de filtros se denomina filtro de eventualidad de la red . Por tanto, todas las mallas generan una base de filtro (y por tanto un filtro). Dado que todas las secuencias son redes, esto también se aplica a las secuencias.
Filtros en teoría de modelos
Para cada filtro F en un conjunto S , la función de conjunto definida por
es finitamente aditivo, una " medida " si ese término se interpreta de manera bastante vaga. Por lo tanto, la declaración
puede considerarse algo análogo a la afirmación de que tiene "casi en todas partes". Esa interpretación de pertenencia a un filtro se utiliza (para la motivación, aunque no es necesaria para pruebas reales ) en la teoría de ultraproductos en la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática .
Filtros en topología
En topología y análisis, los filtros se utilizan para definir la convergencia de una manera similar a la función de las secuencias en un espacio métrico .
En topología y áreas relacionadas de las matemáticas, un filtro es una generalización de una red . Tanto las redes como los filtros proporcionan contextos muy generales para unificar las diversas nociones de límite a espacios topológicos arbitrarios .
Una secuencia suele estar indexada por los números naturales , que son un conjunto totalmente ordenado . Por tanto, los límites en los primeros espacios contables pueden describirse mediante secuencias. Sin embargo, si el espacio no es contable primero, se deben usar redes o filtros. Las redes generalizan la noción de secuencia al requerir que el conjunto de índices sea simplemente un conjunto dirigido . Los filtros se pueden considerar como conjuntos construidos a partir de múltiples redes. Por lo tanto, tanto el límite de un filtro como el límite de una red son conceptualmente lo mismo que el límite de una secuencia.
Bases de vecindario
Deje X un espacio topológico y x un punto de X .
- Tome N x ser el filtro de barrio en el punto x de X . Esto significa que N x es el conjunto de todas las vecindades topológicas del punto x . Se puede verificar que N x es un filtro. Un sistema de vecindad es otro nombre para un filtro de vecindad .
- Decir que N es una base de vecindad en x para X significa que cada subconjunto V 0 de X es una vecindad de x si y solo si existe N 0 ∈ N tal que N 0 ⊆ V 0 . Cada base de vecindad en x es una base de filtro que genera el filtro de vecindad en x .
Bases de filtros convergentes
Deje X un espacio topológico y x un punto de X .
- Decir que una base del filtro B converge a x , denotada B → x , significa que por cada barrio U de x , hay un B 0 ∈ B tal que B 0 ⊆ T . En este caso, x se denomina límite de B y B se denomina base de filtro convergente .
- Cada base de vecindad N de x converge ax .
- Si N es una base barrio en x y C es una base de filtro en X , entonces C → x si C es más fina que N . Si N es el filtro de vecindad cerrado hacia arriba, entonces también se cumple lo contrario: cualquier base de un filtro convergente refina el filtro de vecindad.
- Si Y ⊆ X , un punto p ∈ X es llamado un punto límite de Y en X si y sólo si cada barrio U de p en X intersecta Y . Esto ocurre si y sólo si existe una base del filtro de subconjuntos de Y que converge a p en X .
- Para Y ⊆ X , los siguientes son equivalentes:
- (i) Existe una base de filtro F cuyos elementos están todos contenidos en Y tal que F → x .
- (ii) Existe un filtro F tal que Y es un elemento de F y F → x .
- (iii) El punto x mentiras en el cierre de Y .
En efecto:
(i) implica (ii): si F es una base de filtro que satisface las propiedades de (i), entonces el filtro asociado a F satisface las propiedades de (ii).
(ii) implica (iii): si U es cualquier vecindad abierta de x entonces, por la definición de convergencia, U contiene un elemento de F ; dado que también Y es un elemento de F , U e Y tienen una intersección no vacía.
(iii) implica (i): Definir . Entonces F es una base de filtro que satisface las propiedades de (i).
Agrupación
Deje X un espacio topológico y x un punto de X .
- Definición : Se dice que una base de filtro B en X se agrupa en x (o tiene x como un punto de agrupación ) si y solo si cada elemento de B tiene una intersección no vacía con cada vecindario de x .
- Si una base de filtro B se agrupa en x y es más fina que una base de filtro C , entonces C también se agrupa en x .
- Cada límite de una base de filtro es también un punto de agrupación de la base.
- Es posible que una base de filtro B que tenga x como punto de agrupación no converja ax . Pero hay una base de filtro más fina que lo hace. Por ejemplo, la base del filtro de intersecciones finitas de conjuntos de la subbase B ∩ N x .
- Para una base de filtro B , el conjunto ∩ {cl ( B 0 ) | B 0 ∈ B } es el conjunto de todos los puntos del conglomerado de B (el cierre de B 0 es cl ( B 0 )) . Suponga que X es una red completa .
- El límite inferior de B es el ínfimo del conjunto de todos los puntos de racimo de B .
- El límite superior de de B es el extremo superior del conjunto de todos los puntos de racimo de B .
- B es una base de filtro convergente si y solo si su límite inferior y límite superior concuerdan; en este caso, el valor en el que están de acuerdo es el límite de la base del filtro.
Propiedades de un espacio topológico
Sea X un espacio topológico.
- X es un espacio de Hausdorff si y solo si cada base de filtro en X tiene como máximo un límite.
- X es compacto si y solo si cada base de filtro en X agrupa o tiene un punto de agrupación.
- X es compacto si y solo si cada base de filtro en X es un subconjunto de una base de filtro convergente.
- X es compacto si y solo si todos los ultrafiltros en X convergen.
Funciones entre espacios topológicos
Sean X e Y espacios topológicos, sea A una base de filtro en X , y sea f : X → Y una función. La imagen de A debajo de f , denotada por f [ A ] , se define como el conjunto f [ A ] = { f ( a ) | un ∈ A }, lo que necesariamente forma una base del filtro en Y .
- f es continua en x ∈ X si y solo si para cada base de filtro A en X , A → x implica f [ A ] → f ( x ) .
Filtros de Cauchy
Dejar ser un espacio métrico .
- Decir que una base de filtro B en X es Cauchy significa que para cada número real ε> 0, hay un B 0 ∈ B tal que el diámetro métrico de B 0 es menor que ε.
- Tome ( x n ) ser una secuencia en el sistema métrico espacio X . ( x n ) es una secuencia de Cauchy si y solo si la base del filtro {{ x N , x N +1 , ...} | N ∈ {1,2,3, ...}} es Cauchy.
Más en general, dado un espacio uniforme X , un filtro F en X se llama un filtro de Cauchy si para cada entorno U hay un A ∈ F con ( x , y ) ∈ U para todos x , y ∈ A . En un espacio métrico esto concuerda con la definición anterior. Se dice que X está completo si todos los filtros de Cauchy convergen. Por el contrario, en un espacio uniforme, todo filtro convergente es un filtro de Cauchy. Además, cada punto de agrupación de un filtro de Cauchy es un punto límite.
Un espacio uniforme compacto está completo: en un espacio compacto cada filtro tiene un punto de agrupamiento, y si el filtro es Cauchy, dicho punto de agrupamiento es un punto límite. Además, una uniformidad es compacta si y solo si es completa y totalmente acotada .
En general, un espacio de Cauchy es un conjunto equipado con una clase de filtros declarados Cauchy. Estos deben tener las siguientes propiedades:
- para cada x en X , el ultrafiltro en x , U ( x ), es Cauchy.
- si F es un filtro de Cauchy y F es un subconjunto de un filtro G , entonces G es Cauchy.
- si F y G son filtros de Cauchy y cada miembro de F interseca a cada miembro de G , entonces F ∩ G es Cauchy.
Los filtros de Cauchy en un espacio uniforme tienen estas propiedades, por lo que cada espacio uniforme (por tanto, cada espacio métrico) define un espacio de Cauchy.
Ver también
- Filtración (matemáticas)
- Filtración (teoría de la probabilidad) : modelo de información disponible en un punto dado de un proceso aleatorio
- Filtración (álgebra abstracta)
- Filtro genérico
- Ideal (teoría de conjuntos) : una familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos.
Notas
- ^ H. Cartan, "Théorie des filtres" , CR Acad. París , 205 , (1937) 595-598.
- ^ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" , CR Acad. París , 205 , (1937) 777–779.
- ^ BA Davey y HA Priestley (1990). Introducción a las celosías y el orden . Libros de texto de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 184.
- ↑ a b c Dugundji , 1966 , págs. 211-213.
- ^ Dolecki y Mynard 2016 , págs. 27-29.
- ^ Goldblatt, R. Conferencias sobre los hiperrealistas: una introducción al análisis no estándar . pag. 32.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 2-7.
Referencias
- Nicolas Bourbaki , Topología general ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (Cap. 1-4): Proporciona una buena referencia para filtros en topología general (Capítulo I) y para filtros Cauchy en espacios uniformes (Capítulo II)
- Burris, Stanley N. y HP Sankappanavar, HP, 1981. Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
- Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- MacIver, David, Filters in Analysis and Topology (2004) (Proporciona una revisión introductoria de filtros en topología y en espacios métricos).
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Stephen Willard, Topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (Proporciona una revisión introductoria de filtros en topología).
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Dover Books on Mathematics (Primera ed.). Mineola, NY : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Otras lecturas
- George M. Bergman; Ehud Hrushovski: Ultrafiltros lineales, Comm. Alg., 26 (1998) 4079–4113.