El método Newmark-beta es un método de integración numérica que se utiliza para resolver determinadas ecuaciones diferenciales . Se utiliza ampliamente en la evaluación numérica de la respuesta dinámica de estructuras y sólidos, como en el análisis de elementos finitos para modelar sistemas dinámicos. El método lleva el nombre de Nathan M. Newmark , [1] ex profesor de Ingeniería Civil en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , quien lo desarrolló en 1959 para su uso en dinámica estructural . La ecuación estructural semidiscretizada es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden,
aquí es la matriz de masas, es la matriz de amortiguación, y son fuerzas internas y externas.
Usando el teorema del valor medio extendido , el Newmark-El método establece que la primera derivada en el tiempo (velocidad en la ecuación de movimiento ) se puede resolver como,
dónde
por lo tanto
Sin embargo, debido a que la aceleración también varía con el tiempo, el teorema del valor medio extendido también debe extenderse a la segunda derivada del tiempo para obtener el desplazamiento correcto. Por lo tanto,
donde de nuevo
La ecuación estructural discretizada se convierte en
El esquema de diferencia central explícita se obtiene estableciendo y
La aceleración constante promedio (regla del punto medio) se obtiene configurando y
Se dice que un esquema de integración de tiempo es estable si existe un paso de tiempo de integración para que para cualquier , una variación finita del vector de estado en el momento induce solo una variación no creciente del vector de estado calculado en un momento posterior . Suponga que el esquema de integración de tiempo es
La estabilidad lineal es equivalente a , aquí es el radio espectral de la matriz de actualización.
Para la ecuación estructural lineal
aquí es la matriz de rigidez. Dejar, la matriz de actualización es , y
Para caso no amortiguado (), la matriz de actualización se puede desacoplar introduciendo los modos propios del sistema estructural, que se resuelven mediante el problema de valores propios generalizados
Para cada modo propio, la matriz de actualización se convierte en
La ecuación característica de la matriz de actualización es
En cuanto a la estabilidad, tenemos
Esquema explícito de diferencias centrales ( y ) es estable cuando .
Aceleración constante promedio (regla del punto medio) ( y ) es incondicionalmente estable.