Teorema de Newton (cuadrilátero)
En geometría euclidiana, el teorema de Newton establece que en todo cuadrilátero tangencial que no sea un rombo , el centro de la circunferencia inscrita se encuentra en la línea de Newton .
Sea ABCD un cuadrilátero tangencial con a lo sumo un par de lados paralelos. Además, sean E y F los puntos medios de sus diagonales AC y BD y P el centro de su circunferencia inscrita. Dada tal configuración, el punto P está ubicado en la línea de Newton, es decir, la línea EF que conecta los puntos medios de las diagonales.
Un cuadrilátero tangencial con dos pares de lados paralelos es un rombo. En este caso, ambos puntos medios y el centro del círculo coinciden y, por definición, no existe una línea de Newton.
El teorema de Newton se puede derivar fácilmente del teorema de Anne considerando que en los cuadriláteros tangenciales las longitudes combinadas de los lados opuestos son iguales ( teorema de Pitot : a + c = b + d ). Ahora, según el teorema de Anne, mostrar que las áreas combinadas de los triángulos opuestos PAD y PBC y las áreas combinadas de los triángulos PAB y PCD son iguales es suficiente para asegurar que P se encuentra en EF . Sea r el radio de la circunferencia inscrita, entonces r es también la altura de los cuatro triángulos.
