En la geometría euclidiana , un cuadrilátero tangencial (a veces solo un cuadrilátero tangente ) o un cuadrilátero circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyos lados todos pueden ser tangentes a un solo círculo dentro del cuadrilátero. Este círculo se llama incírculo del cuadrilátero o su círculo inscrito, su centro es el incentro y su radio se llama inradio . Dado que estos cuadriláteros se pueden dibujar rodeando o circunscribiendo sus incírculos, también se les ha llamado cuadriláteros circunscribibles ,que circunscriben cuadriláteros y cuadriláteros circunscriptibles . [1] Los cuadriláteros tangenciales son un caso especial de polígonos tangenciales .
Otros de uso menos frecuente nombres para esta clase de cuadriláteros son cuadrilátero inscriptable , cuadrilátero inscriptible , cuadrilátero inscribible , cuadrilátero circumcyclic , y co-cíclico cuadrilátero . [1] [2] Debido al riesgo de confusión con un cuadrilátero que tiene un círculo circunferencial, que se llama cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito, es preferible no usar ninguno de los últimos cinco nombres. [1]
Todos los triángulos pueden tener un círculo, pero no todos los cuadriláteros lo tienen. Un ejemplo de un cuadrilátero que no puede ser tangencial es un rectángulo no cuadrado . Las caracterizaciones de la sección a continuación establecen qué condiciones necesarias y suficientes debe satisfacer un cuadrilátero para poder tener un círculo.
Casos especiales
Ejemplos de cuadriláteros tangenciales son las cometas , que incluyen los rombos , que a su vez incluyen los cuadrados . Las cometas son exactamente los cuadriláteros tangenciales que también son ortodiagonales . [3] Una cometa derecha es una cometa con circunferencia . Si un cuadrilátero es tangencial y cíclico , se le llama cuadrilátero bicéntrico , y si es tangencial y trapezoide , se le llama trapezoide tangencial .
Caracterizaciones
En un cuadrilátero tangencial, las cuatro bisectrices se encuentran en el centro del círculo. Por el contrario, un cuadrilátero convexo en el que las cuatro bisectrices de los ángulos se encuentran en un punto debe ser tangencial y el punto común es el incentro. [4]
Según el teorema de Pitot , los dos pares de lados opuestos en un cuadrilátero tangencial suman la misma longitud total, que es igual al semiperímetro s del cuadrilátero:
A la inversa, un cuadrilátero convexo en el que a + c = b + d debe ser tangencial. [1] : p . 65 [4]
Si los lados opuestos en un cuadrilátero convexo ABCD (que no es un trapezoide ) se cruzan en E y F , entonces es tangencial si y solo si cualquiera de [4]
o
El segundo de estos es casi el mismo que una de las igualdades en el teorema de Urquhart . Las únicas diferencias son las señales en ambos lados; en el teorema de Urquhart hay sumas en lugar de diferencias.
Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero convexo ABCD sea tangencial si y solo si los círculos en los dos triángulos ABC y ADC son tangentes entre sí. [1] : pág.66
Una caracterización con respecto a los ángulos formados por la diagonal BD y los cuatro lados de un cuadrilátero ABCD se debe a Iosifescu. Demostró en 1954 que un cuadrilátero convexo tiene un círculo si y solo si [5]
Además, un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d es tangencial si y solo si
donde R a , R b , R c , R d son los radios en los círculos externamente tangentes a los lados a , b , c , d respectivamente y las extensiones de los dos lados adyacentes para cada lado. [6] : pág.72
Se conocen varias caracterizaciones más en los cuatro subtriángulos formados por las diagonales.
Segmentos de línea especiales
Las ocho longitudes de tangente ( e , f , g , h en la figura de la derecha) de un cuadrilátero tangencial son los segmentos de línea desde un vértice hasta los puntos donde el círculo es tangente a los lados. De cada vértice hay dos longitudes de tangente congruentes .
Las dos cuerdas de tangencia ( k y l en la figura) de un cuadrilátero tangencial son los segmentos de línea que conectan puntos en lados opuestos donde el círculo es tangente a estos lados. Estas también son las diagonales del cuadrilátero de contacto .
Área
Fórmulas no trigonométricas
El área K de un cuadrilátero tangencial está dada por
donde s es el semiperímetro y r es el radio interno . Otra fórmula es [7]
que da el área en términos de las diagonales p , qy los lados a , b , c , d del cuadrilátero tangencial.
El área también se puede expresar en términos de solo las cuatro longitudes de tangente . Si son e , f , g , h , entonces el cuadrilátero tangencial tiene el área [3]
Además, el área de un cuadrilátero tangencial se puede expresar en términos de los lados a, b, c, d y las longitudes de tangentes sucesivas e, f, g, h como [3] : p.128
Dado que, por ejemplo, = fh si y solo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico y, por tanto, bicéntrico, [8] esto muestra que el área máxima ocurre si y solo si el cuadrilátero tangencial es bicéntrico.
Fórmulas trigonométricas
Una fórmula trigonométrica para el área en términos de los lados a , b , c , d y dos ángulos opuestos es [7] [9] [10] [11]
Para longitudes de lado dadas, el área es máxima cuando el cuadrilátero también es cíclico y, por lo tanto, un cuadrilátero bicéntrico . Luegoya que los ángulos opuestos son ángulos suplementarios . Esto se puede demostrar de otra manera mediante el cálculo . [12]
Otra fórmula para el área de un cuadrilátero tangencial ABCD que involucra dos ángulos opuestos es [10] : p.19
donde yo es el incentro.
De hecho, el área se puede expresar en términos de solo dos lados adyacentes y dos ángulos opuestos como [7]
Otra fórmula de área es [7]
donde θ es cualquiera de los ángulos entre las diagonales. Esta fórmula no se puede utilizar cuando el cuadrilátero tangencial es una cometa, ya que entonces θ es 90 ° y la función tangente no está definida.
Desigualdades
Como se señaló indirectamente anteriormente, el área de un cuadrilátero tangencial con lados a , b , c , d satisface
con igualdad si y solo si es un cuadrilátero bicéntrico .
Según TA Ivanova (en 1976), el semiperímetro s de un cuadrilátero tangencial satisface
donde r es el radio interno. Hay igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado . [13] Esto significa que para el área K = rs , existe la desigualdad
con igualdad si y solo si el cuadrilátero tangencial es un cuadrado.
Propiedades de la partición
Los cuatro segmentos de línea entre el centro del círculo y los puntos donde es tangente al cuadrilátero dividen el cuadrilátero en cuatro cometas derechas .
Si una línea corta un cuadrilátero tangencial en dos polígonos con áreas iguales y perímetros iguales , esa línea pasa por el incentro . [4]
Inradius
El inradio en un cuadrilátero tangencial con lados consecutivos a , b , c , d está dado por [7]
donde K es el área del cuadrilátero y s es su semiperímetro. Para un cuadrilátero tangencial con lados dados, el radio interno es máximo cuando el cuadrilátero también es cíclico (y por lo tanto un cuadrilátero bicéntrico ).
En términos de las longitudes de las tangentes , el círculo tiene un radio [8] : Lema2 [14]
El inradio también se puede expresar en términos de las distancias desde el incentro I a los vértices del cuadrilátero tangencial ABCD . Si u = AI , v = BI , x = CI e y = DI , entonces
dónde . [15]
Si los círculos en los triángulos ABC , BCD , CDA , DAB tienen radiosrespectivamente, entonces el inradio de un cuadrilátero tangencial ABCD viene dado por
dónde . [dieciséis]
Fórmulas de ángulos
Si e , f , g y h son las longitudes de tangencia de los vértices A , B , C y D , respectivamente, a los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a los lados de un tangencial cuadrilátero ABCD , entonces los ángulos del cuadrilátero pueden calcularse a partir [3]
El ángulo entre las cuerdas de tangencia k y l viene dado por [3]
Diagonales
Si e , f , g y h son las longitudes de la tangente de A , B , C y D , respectivamente, a los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a los lados de un tangencial cuadrilátero ABCD , entonces las longitudes de las diagonales p = AC y q = BD son [8] : Lema3
Acordes de tangencia
Si e , f , g y h son las longitudes de la tangente de un tangencial cuadrilátero, a continuación, las longitudes de los acordes de tangencia son [3]
donde la cuerda de tangencia de longitud k conecta los lados de las longitudes a = e + f y c = g + h , y la de longitud l conecta los lados de las longitudes b = f + g y d = h + e . La relación al cuadrado de los acordes de tangencia satisface [3]
Los dos acordes de tangencia
- son perpendiculares si y solo si el cuadrilátero tangencial también tiene circunferencia (es bicéntrico ). [3] : pág.124
- tienen longitudes iguales si y solo si el cuadrilátero tangencial es una cometa . [17] : pág . 166
La cuerda de tangencia entre los lados AB y CD en un cuadrilátero tangencial ABCD es más larga que la que está entre los lados BC y DA si y solo si el bimediano entre los lados AB y CD es más corto que el que está entre los lados BC y DA . [18] : pág.162
Si el cuadrilátero tangencial ABCD tiene puntos de tangencia W en AB e Y en CD , y si la cuerda de tangencia WY interseca la diagonal BD en M , entonces la razón de las longitudes de tangente es igual a la razón de los segmentos de diagonal BD . [19]
Puntos colineales
Si M 1 y M 2 son los puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente en un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I , y si los pares de lados opuestos se encuentran en J y K siendo M 3 el punto medio de JK , entonces los puntos M 3 , M 1 , I y M 2 son colineales . [4] : p.42 La línea que los contiene es la línea de Newton del cuadrilátero.
Si las extensiones de lados opuestos en un cuadrilátero tangencial se intersecan en J y K , y las extensiones de lados opuestos en su cuadrilátero de contacto se intersecan en L y M , entonces los cuatro puntos J , L , K y M son colineales. [20] : Cor.3
Si el círculo es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en T 1 , T 2 , T 3 , T 4 respectivamente, y si N 1 , N 2 , N 3 , N 4 son los conjugados isotómicos de estos puntos con con respecto a los lados correspondientes (es decir, AT 1 = BN 1 y así sucesivamente), entonces el punto Nagel del cuadrilátero tangencial se define como la intersección de las líneas N 1 N 3 y N 2 N 4 . Ambas líneas dividen el perímetro del cuadrilátero en dos partes iguales. Más importante aún, el punto Nagel N , el "centroide de área" G y el incentro I son colineales en este orden, y NG = 2 GI . Esta línea se llama línea de Nagel de un cuadrilátero tangencial. [21]
En un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I y donde las diagonales se intersecan en P , sean H X , H Y , H Z , H W los ortocentros de los triángulos AIB , BIC , CID , DIA . Entonces los puntos P , H X , H Y , H Z , H W son colineales. [10] : pág . 28
Líneas concurrentes y perpendiculares
Las dos diagonales y los dos acordes de tangencia son concurrentes . [11] [10] : p.11 Una forma de ver esto es como un caso límite del teorema de Brianchon , que establece que un hexágono cuyos lados son tangentes a una sola sección cónica tiene tres diagonales que se encuentran en un punto. A partir de un cuadrilátero tangencial, se puede formar un hexágono con dos ángulos de 180 °, colocando dos nuevos vértices en dos puntos de tangencia opuestos; los seis lados de este hexágono se encuentran en líneas tangentes al círculo inscrito, por lo que sus diagonales se encuentran en un punto. Pero dos de estas diagonales son iguales que las diagonales del cuadrilátero tangencial, y la tercera diagonal del hexágono es la línea que pasa por dos puntos opuestos de tangencia. La repetición de este mismo argumento con los otros dos puntos de tangencia completa la prueba del resultado.
Si las extensiones de lados opuestos en un cuadrilátero tangencial se cruzan en J y K , y las diagonales se cruzan en P , entonces JK es perpendicular a la extensión de IP donde I es el incentro. [20] : Cor.4
En el centro
El incentro de un cuadrilátero tangencial se encuentra en su línea de Newton (que conecta los puntos medios de las diagonales). [22] : Thm. 3
La razón de dos lados opuestos en un cuadrilátero tangencial se puede expresar en términos de las distancias entre el incentro I y los vértices de acuerdo con [10] : p.15
El producto de dos lados adyacentes en un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I satisface [23]
Si I es el incentro de un cuadrilátero tangencial ABCD , entonces [10] : p.16
El incentro I en un cuadrilátero tangencial ABCD coincide con el "centroide del vértice" del cuadrilátero si y solo si [10] : p.22
Si M p y M q son los puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente en un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I , entonces [10] : p.19 [24]
donde e , f , g y h son las longitudes tangentes en A , B , C y D respectivamente. Combinando la primera igualdad con una propiedad anterior, el "centroide del vértice" del cuadrilátero tangencial coincide con el incentro si y solo si el incentro es el punto medio del segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales.
Si se hace un enlace de cuatro barras en forma de cuadrilátero tangencial, permanecerá tangencial sin importar cómo se flexione el enlace, siempre que el cuadrilátero permanezca convexo. [25] [26] (Así, por ejemplo, si un cuadrado se deforma en un rombo, permanece tangencial, aunque a un círculo más pequeño). Si un lado se mantiene en una posición fija, cuando el cuadrilátero se flexiona, el incentro traza un círculo de radiodonde a, b, c, d son los lados en secuencia y s es el semiperímetro.
Caracterizaciones en los cuatro subtriángulos
En los triángulos no superpuestos APB , BPC , CPD , DPA formados por las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD , donde las diagonales se cruzan en P , existen las siguientes caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales.
Sean r 1 , r 2 , r 3 y r 4 los radios de los círculos en los cuatro triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente. Chao y Simeonov demostraron que el cuadrilátero es tangencial si y solo si [27]
Esta caracterización ya había sido probada cinco años antes por Vaynshtejn. [17] : p.169 [28] En la solución a su problema, Vasilyev y Senderov dieron una caracterización similar. Si h 1 , h 2 , h 3 y h 4 denotan las altitudes en los mismos cuatro triángulos (desde la intersección diagonal hasta los lados del cuadrilátero), entonces el cuadrilátero es tangencial si y solo si [5] [28]
Otra caracterización similar se refiere a los exradii r a , r b , r c y r d en los mismos cuatro triángulos (los cuatro excircles son cada uno tangente a un lado del cuadrilátero y las extensiones de sus diagonales). Un cuadrilátero es tangencial si y solo si [1] : p.70
Si R 1 , R 2 , R 3 y R 4 denotan los radios en los círculos circunferenciales de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente, entonces el cuadrilátero ABCD es tangencial si y solo si [29] : págs. 23-24
En 1996, Vaynshtejn fue probablemente el primero en probar otra hermosa caracterización de cuadriláteros tangenciales, que luego apareció en varias revistas y sitios web. [1] : págs. 72–73 Establece que cuando un cuadrilátero convexo se divide en cuatro triángulos no superpuestos por sus dos diagonales, entonces los incentros de los cuatro triángulos son concíclicos si y solo si el cuadrilátero es tangencial. De hecho, los incentros forman un cuadrilátero cíclico ortodiagonal . [1] : p.74 Un resultado relacionado es que los incírculos pueden intercambiarse por los excirculos de los mismos triángulos (tangente a los lados del cuadrilátero y las extensiones de sus diagonales). Por tanto, un cuadrilátero convexo es tangencial si y sólo si los excitantes en estos cuatro excirculos son los vértices de un cuadrilátero cíclico . [1] : pág. 73
Un cuadrilátero convexo ABCD , con diagonales que se cruzan en P , es tangencial si y solo si los cuatro excéntricos en los triángulos APB , BPC , CPD y DPA opuestos a los vértices B y D son concíclicos. [1] : pág. 79 Si R a , R b , R c y R d son los exradios en los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente opuestos a los vértices B y D , entonces otra condición es que el cuadrilátero sea tangencial si y solo si [ 1] : pág. 80
Además, un cuadrilátero convexo ABCD con diagonales que se cruzan en P es tangencial si y solo si [5]
donde ∆ ( APB ) es el área del triángulo APB .
Denote los segmentos en los que la intersección diagonal P divide la diagonal AC como AP = p 1 y PC = p 2 , y de manera similar P divide la diagonal BD en los segmentos BP = q 1 y PD = q 2 . Entonces el cuadrilátero es tangencial si y solo si alguna de las siguientes igualdades es verdadera: [30]
o [1] : pág. 74
o [1] : pág. 77
Condiciones para que un cuadrilátero tangencial sea otro tipo de cuadrilátero
Rombo
Un cuadrilátero tangencial es un rombo si y solo si sus ángulos opuestos son iguales. [31]
cometa
Un cuadrilátero tangencial es una cometa si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: [17]
- El área es la mitad del producto de las diagonales .
- Las diagonales son perpendiculares .
- Los dos segmentos de línea que conectan puntos opuestos de tangencia tienen la misma longitud.
- Un par de longitudes de tangentes opuestas tienen longitudes iguales.
- Los bimedianos tienen la misma longitud.
- Los productos de lados opuestos son iguales.
- El centro del círculo se encuentra en la diagonal que es el eje de simetría.
Cuadrilátero bicéntrico
Si el círculo es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en W , X , Y , Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico (y por lo tanto bicéntrico ) si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: [2] [3] : p.124 [20]
- WY es perpendicular a XZ
El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .
Un cuadrilátero tangencial es bicéntrico si y solo si su radio interno es mayor que el de cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados. [32] : págs . 392–393
Trapezoide tangencial
Si el círculo es tangente a los lados AB y CD en W e Y respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es un trapezoide con lados paralelos AB y CD si y solo si [33] : Thm. 2
y AD y BC son los lados paralelos de un trapezoide si y solo si
Ver también
- Círculo circunscrito
- Cuadrilátero ex-tangencial
- Triángulo tangencial
- Polígono tangencial
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k l m Josefsson, Martin (2011), "Más caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65-82.
- ^ a b Bryant, Víctor; Duncan, John (2010), "Wheels within wheels", The Mathematical Gazette , 94 (noviembre): 502–505.
- ^ a b c d e f g h yo Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relacionados con las longitudes de tangentes y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130.
- ^ a b c d e Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Tesoros de la Olimpiada Matemática , Birkhäuser, págs. 64–68.
- ^ a b c Minculete, Nicusor (2009), "Caracterizaciones de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometricorum , 9 : 113-118.
- ^ Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones métricas similares de cuadriláteros tangenciales y extángenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 63–77
- ^ a b c d e Durell, CV; Robson, A. (2003), Trigonometría avanzada , reimpresión de Dover, págs. 28-30.
- ^ a b c Hajja, Mowaffaq (2008), "Una condición para que un cuadrilátero circunscriptible sea cíclico" (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 103-106.
- ^ Siddons, AW; Hughes, RT (1929), Trigonometría , Universidad de Cambridge. Presione, p. 203.
- ^ a b c d e f g h Grinberg, Darij, Cuadriláteros circunscritos revisados , 2008
- ↑ a b Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] , 1998, págs. 156-157.
- ^ Hoyt, John P. (1986), "Maximizar el área de un trapecio", American Mathematical Monthly , 93 (1): 54–56, doi : 10.2307 / 2322549.
- ^ Publicar en Art of Problem Solving , 2012
- ^ Hoyt, John P. (1984), "Quickies, Q694", Revista de matemáticas , 57 (4): 239, 242.
- ^ Josefsson, Martin (2010), "En el radio interno de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 27–34.
- ↑ Bogomolny, Alexander (2016), An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral, Cut-the-knot , [2] .
- ^ a b c Josefsson, Martin (2011), "¿Cuándo es un cuadrilátero tangencial una cometa?" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 165–174.
- ^ Josefsson, Martin (2011), "El área de un cuadrilátero bicéntrico" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155-164.
- ^ Gutiérrez, Antonio, "Cuadrilátero circunscrito, diagonal, acorde, proporción", [3] , consultado el 9 de abril de 2012.
- ^ a b c Josefsson, Martin (2010), "Caracterizaciones de cuadriláteros bicéntricos" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 165-173.
- ^ Myakishev, Alexei (2006), "En dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289-295.
- ^ Dergiades, Nikolaos; Christodoulou, Dimitris M. (2017), "Los dos incentros de un cuadrilátero convexo arbitrario" (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 245-254.
- ^ "Ineq-G126 - Geometría - muy agradable !!!!", Publicación en Art of Problem Solving , 2011, [4]
- ^ "Determinar la relación OM / ON", publicación en Art of Problem Solving , 2011
- ^ Barton, Helen (1926), "On a circle adjunto a una barra plegable de cuatro", American Mathematical Monthly , 33 (9): 462–465, doi : 10.2307 / 2299611 , JSTOR 2299611.
- ^ Bogomolny, Alexander, "¿Cuándo un cuadrilátero es inscriptible?", Miscelánea de matemáticas interactivas y rompecabezas , [5] .
- ^ Chao, Wu Wei; Simeonov, Plamen (2000), "Cuando los cuadriláteros tienen círculos inscritos (solución al problema 10698)", American Mathematical Monthly , 107 (7): 657–658, doi : 10.2307 / 2589133.
- ^ a b Vaynshtejn, I .; Vasilyev, N .; Senderov, V. (1995), "(Solución al problema) M1495", Kvant (6): 27-28.
- ^ Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13-25.
- ^ Hoehn, Larry (2011), "Una nueva fórmula sobre las diagonales y los lados de un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 211-212.
- ^ De Villiers, Michael (2011), "Polígonos circunscritos equiangulares cíclicos y equiláteros", Mathematical Gazette , 95 (marzo): 102–107.
- ^ Hess, Albrecht (2014), "En un círculo que contiene los incentros de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389–396.
- ^ Josefsson, Martin (2014), "The diagonal point triangle revisited" (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 381–385.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Cuadrilátero tangencial" , MathWorld