En física, la dinámica newtoniana se entiende como la dinámica de una partícula o un cuerpo pequeño según las leyes del movimiento de Newton .
Generalizaciones matemáticas
Normalmente, la dinámica newtoniana ocurre en un espacio euclidiano tridimensional , que es plano. Sin embargo, en matemáticas, las leyes del movimiento de Newton se pueden generalizar a espacios multidimensionales y curvos . A menudo, el término dinámica newtoniana se reduce a la segunda ley de Newton .
Segunda ley de Newton en un espacio multidimensional
Considerar partículas con masas en el espacio euclidiano tridimensional regular . Dejarser sus radios-vectores en algún sistema de coordenadas inerciales . Entonces, el movimiento de estas partículas está gobernado por la segunda ley de Newton aplicada a cada una de ellas.
( 1 )
Los vectores-radio tridimensionales se puede construir en un solo -Radio-vector dimensional. De manera similar, los vectores de velocidad tridimensionales se puede construir en un solo -vector de velocidad dimensional:
( 2 )
En términos de los vectores multidimensionales ( 2 ) las ecuaciones ( 1 ) se escriben como
( 3 )
es decir, toman la forma de la segunda ley de Newton aplicada a una sola partícula con la unidad de masa .
Definición . Las ecuaciones ( 3 ) se denominan ecuaciones de un sistema dinámico newtoniano en un espacio euclidiano multidimensional plano , que se denomina espacio de configuración de este sistema. Sus puntos están marcados por el radio-vector. El espacio cuyos puntos están marcados por el par de vectores.se llama el espacio de fase del sistema dinámico ( 3 ).
Estructura euclidiana
El espacio de configuración y el espacio de fase del sistema dinámico ( 3 ) son ambos espacios euclidianos, es decir, están equipados con una estructura euclidiana . La estructura euclidiana de ellos se define de modo que la energía cinética de la única partícula multidimensional con la unidad de masa es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas tridimensionales con las masas :
- .
( 4 )
Restricciones y coordenadas internas
En algunos casos, el movimiento de las partículas con las masas puede ser restringido. Las restricciones típicas parecen ecuaciones escalares de la forma
- .
( 5 )
Las restricciones de la forma ( 5 ) se denominan holonómicas y escleronómicas . En términos del radio-vectordel sistema dinámico newtoniano ( 3 ) se escriben como
- .
( 6 )
Cada una de estas restricciones reduce en uno el número de grados de libertad del sistema dinámico newtoniano ( 3 ). Por lo tanto, el sistema restringido tiene grados de libertad.
Definición . Las ecuaciones de restricción ( 6 ) definen una-dimensional colector dentro del espacio de configuración del sistema dinámico newtoniano ( 3 ). Este colectorse denomina espacio de configuración del sistema restringido. Su paquete tangente se denomina espacio de fase del sistema restringido.
Dejar ser las coordenadas internas de un punto de . Su uso es típico de la mecánica de Lagrange . El radio-vector se expresa como una función definida de :
- .
( 7 )
La función-vector ( 7 ) resuelve las ecuaciones de restricción ( 6 ) en el sentido de que al sustituir ( 7 ) en ( 6 ) las ecuaciones ( 6 ) se cumplen idénticamente en.
Presentación interna del vector de velocidad
El vector de velocidad del sistema dinámico newtoniano restringido se expresa en términos de las derivadas parciales de la función vectorial ( 7 ):
- .
( 8 )
Las cantidades se denominan componentes internos del vector velocidad. A veces se indican con el uso de un símbolo separado.
( 9 )
y luego tratados como variables independientes. Las cantidades
( 10 )
se utilizan como coordenadas internas de un punto del espacio de fase del sistema dinámico newtoniano restringido.
Incrustación y la métrica inducida de Riemann
Geométricamente, la función vectorial ( 7 ) implementa una incrustación del espacio de configuración del sistema dinámico newtoniano restringido en el -espacio de configuración plana dimensional del sistema dinámico newtoniano no restringido ( 3 ). Debido a esto, la incrustación de la estructura euclidiana del espacio ambiental induce la métrica de Riemann en la variedad. Los componentes del tensor métrico de esta métrica inducida están dados por la fórmula
- ,
( 11 )
dónde es el producto escalar asociado con la estructura euclidiana ( 4 ).
Energía cinética de un sistema dinámico newtoniano restringido
Dado que la estructura euclidiana de un sistema ilimitado de Las partículas se introducen a través de su energía cinética, la estructura riemanniana inducida en el espacio de configuración. de un sistema restringido conserva esta relación con la energía cinética:
- .
( 12 )
La fórmula ( 12 ) se obtiene sustituyendo ( 8 ) en ( 4 ) y teniendo en cuenta ( 11 ).
Fuerzas de restricción
Para un sistema dinámico newtoniano restringido, las restricciones descritas por las ecuaciones ( 6 ) generalmente se implementan mediante algún marco mecánico. Este marco produce algunas fuerzas auxiliares, incluida la fuerza que mantiene el sistema dentro de su colector de configuración.. Tal fuerza de mantenimiento es perpendicular a. Se llama fuerza normal . La fuerzade ( 6 ) se subdivide en dos componentes
- .
( 13 )
El primer componente en ( 13 ) es tangente al colector de configuración. El segundo componente es perpendicular a. En coincide con la fuerza normal .
Como el vector de velocidad ( 8 ), la fuerza tangente tiene su presentación interna
- .
( 14 )
Las cantidades en ( 14 ) se denominan componentes internos del vector de fuerza.
Segunda ley de Newton en un espacio curvo
El sistema dinámico newtoniano ( 3 ) restringido a la variedad de configuraciónpor las ecuaciones de restricción ( 6 ) se describe por las ecuaciones diferenciales
- ,
( 15 )
dónde son símbolos de Christoffel de la conexión métrica producida por la métrica de Riemann ( 11 ).
Relación con las ecuaciones de Lagrange
Los sistemas mecánicos con restricciones generalmente se describen mediante las ecuaciones de Lagrange :
- ,
( 16 )
dónde es la energía cinética el sistema dinámico constreñido dado por la fórmula ( 12 ). Las cantidadesen ( 16 ) son las componentes covariantes internas del vector de fuerza tangente(ver ( 13 ) y ( 14 )). Se producen a partir de los componentes contravariantes internos. del vector mediante el procedimiento estándar de reducción del índice utilizando la métrica ( 11 ):
- ,
( 17 )
Las ecuaciones ( 16 ) son equivalentes a las ecuaciones ( 15 ). Sin embargo, la métrica ( 11 ) y otras características geométricas del colector de configuraciónno son explícitos en ( 16 ). La métrica ( 11 ) se puede recuperar de la energía cinética por medio de la fórmula
- .
( 18 )
Ver también
- Dinámica newtoniana modificada