El espacio curvo a menudo se refiere a una geometría espacial que no es "plana", donde un espacio plano es descrito por la geometría euclidiana . Los espacios curvos generalmente se pueden describir mediante la geometría de Riemann, aunque algunos casos simples se pueden describir de otras maneras. Los espacios curvos juegan un papel esencial en la relatividad general , donde la gravedad a menudo se visualiza como un espacio curvo. La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker es una métrica curva que forma la base actual para la descripción de la expansión del espacio y la forma del universo .
Ejemplo bidimensional simple
Un ejemplo muy familiar de un espacio curvo es la superficie de una esfera. Mientras que para nuestra perspectiva familiar la esfera parece tridimensional, si un objeto está obligado a estar en la superficie, solo tiene dos dimensiones en las que puede moverse. La superficie de una esfera puede describirse completamente por dos dimensiones, ya que no importa cómo Aunque la superficie parezca rugosa, sigue siendo sólo una superficie, que es el borde exterior bidimensional de un volumen. Incluso la superficie de la Tierra, que es fractal en complejidad, sigue siendo solo un límite bidimensional a lo largo del exterior de un volumen.
Incrustar
Una de las características definitorias de un espacio curvo es su salida con el teorema de Pitágoras . En un espacio curvo
- .
La relación pitagórica a menudo se puede restaurar describiendo el espacio con una dimensión adicional. Supongamos que tenemos un espacio tridimensional no euclidiano con coordenadas. Porque no es plano
- .
Pero si ahora describimos el espacio tridimensional con cuatro dimensiones () podemos elegir coordenadas tales que
- .
Tenga en cuenta que la coordenada no es lo mismo que la coordenada.
Para que la elección de las coordenadas 4D sean descriptores válidos del espacio 3D original, debe tener el mismo número de grados de libertad . Dado que cuatro coordenadas tienen cuatro grados de libertad, debe tener una restricción. Podemos elegir una restricción tal que el teorema de Pitágoras se mantenga en el nuevo espacio 4D. Es decir
- .
La constante puede ser positiva o negativa. Por conveniencia, podemos elegir la constante para ser
- dónde ahora es positivo y .
Ahora podemos usar esta restricción para eliminar la cuarta coordenada artificial . El diferencial de la ecuación restrictiva es
- llevando a .
Enchufar en la ecuación original da
- .
Esta forma generalmente no es particularmente atractiva y, por lo tanto, a menudo se aplica una transformación de coordenadas: , , . Con esta transformación de coordenadas
- .
Sin incrustar
La geometría de un espacio n-dimensional también se puede describir con la geometría de Riemann . Un espacio isotrópico y homogéneo se puede describir mediante la métrica:
- .
Esto se reduce al espacio euclidiano cuando. Pero se puede decir que un espacio es " plano " cuando el tensor de Weyl tiene todos componentes cero. En tres dimensiones esta condición se cumple cuando el tensor de Ricci () es igual a la métrica multiplicada por el escalar de Ricci (, no confundir con la R del apartado anterior). Es decir. El cálculo de estos componentes a partir de la métrica da que
- dónde .
Esto da la métrica:
- .
dónde puede ser cero, positivo o negativo y no se limita a ± 1.
Abierto, plano, cerrado
Un espacio isotrópico y homogéneo se puede describir mediante la métrica:
- .
En el límite que la constante de curvatura () se vuelve infinitamente grande, se devuelve un espacio euclidiano plano . Es esencialmente lo mismo que configurara cero. Sino es cero el espacio no es euclidiano. Cuándose dice que el espacio es cerrado o elíptico . Cuándose dice que el espacio es abierto o hiperbólico .
Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio abierto tendrán una suma de ángulos menor a 180 °. Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio cerrado tendrán una suma de ángulos mayor a 180 °. El volumen, sin embargo, no es .
Ver también
Otras lecturas
- Papastavridis, John G. (1999). " Superficies generales n- dimensionales (riemannianas)" . Cálculo tensorial y dinámica analítica . Boca Ratón: CRC Press. págs. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.
enlaces externos
- Curved Spaces , simulador de universos multiconectados desarrollado por Jeffrey Weeks