En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos combinatoria , las transformaciones de Nielsen , llamadas así por Jakob Nielsen , son ciertos automorfismos de un grupo libre que son un análogo no conmutativo de la reducción de filas y una de las principales herramientas utilizadas en el estudio . grupos libres, ( Fine, Rosenberger & Stille 1995 ). Se introdujeron en ( Nielsen 1921 ) para probar que cada subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier ), pero ahora se usan en una variedad de matemáticas, que incluyenteoría computacional de grupos , teoría k y teoría de nudos . El libro de texto ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 ) dedica todo el capítulo 3 a las transformaciones de Nielsen.
Una de las definiciones más simples de una transformación de Nielsen es un automorfismo de un grupo libre, pero esta no era su definición original. A continuación se da una definición más constructiva.
Una transformación de Nielsen en un grupo libre generado finitamente con una base ordenada [ x 1 , ..., x n ] se puede factorizar en transformaciones elementales de Nielsen de los siguientes tipos:
Estas transformaciones son análogas a las operaciones de fila elementales . Las transformaciones de los dos primeros tipos son análogas a los intercambios de filas y las permutaciones de filas cíclicas. Las transformaciones del tercer tipo corresponden a escalar una fila por un escalar invertible. Las transformaciones del cuarto tipo corresponden a sumas de filas.
Las transformaciones de los dos primeros tipos son suficientes para permutar los generadores en cualquier orden, por lo que el tercer tipo puede aplicarse a cualquiera de los generadores y el cuarto tipo a cualquier par de generadores.
Cuando se trata de grupos que no son libres, se aplican estas transformaciones a subconjuntos ordenados finitos de un grupo. En esta situación, las composiciones de las transformaciones elementales se llaman regulares . Si uno permite eliminar elementos del subconjunto que son el elemento de identidad, entonces la transformación se llama singular .