En matemáticas , la teoría K es, en términos generales, el estudio de un anillo generado por paquetes de vectores sobre un espacio o esquema topológico . En topología algebraica , es una teoría de cohomología conocida como teoría K topológica . En álgebra y geometría algebraica , se conoce como teoría K algebraica . También es una herramienta fundamental en el campo de las álgebras de operadores . Puede verse como el estudio de ciertos tipos de invariantes de matrices grandes . [1]
K-teoría consiste en la construcción de las familias de K - funtores ese mapa de los espacios topológicos o esquemas de anillos asociados; estos anillos reflejan algunos aspectos de la estructura de los espacios o esquemas originales. Al igual que con los functores a grupos en la topología algebraica, la razón de este mapeo functorial es que es más fácil calcular algunas propiedades topológicas a partir de los anillos mapeados que a partir de los espacios o esquemas originales. Ejemplos de resultados obtenidos del enfoque de la teoría K incluyen el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , la periodicidad de Bott , el teorema del índice de Atiyah-Singer y las operaciones de Adams .
En física de altas energías , la teoría K y, en particular , la teoría K retorcida han aparecido en la teoría de cuerdas de tipo II, donde se ha conjeturado que clasifican las branas D , las intensidades de campo Ramond-Ramond y también ciertos espinores en variedades complejas generalizadas . En física de la materia condensada , la teoría K se ha utilizado para clasificar aislantes topológicos , superconductores y superficies Fermi estables . Para obtener más detalles, consulte Teoría K (física) .
Finalización de Grothendieck
La terminación de Grothendieck de un monoide abeliano en un grupo abeliano es un ingrediente necesario para definir la teoría K, ya que todas las definiciones comienzan construyendo un monoide abeliano a partir de una categoría adecuada y convirtiéndolo en un grupo abeliano a través de esta construcción universal. Dado un monoide abeliano dejar ser la relación en definido por
si existe un tal que Entonces, el set tiene la estructura de un grupo dónde:
Las clases de equivalencia en este grupo deben considerarse como diferencias formales de elementos en el monoide abeliano. Este grupo también está asociado con un homomorfismo monoide dada por que tiene una cierta propiedad universal .
Para comprender mejor este grupo, considere algunas clases de equivalencia del monoide abeliano. Aquí denotaremos el elemento de identidad de por así que eso será el elemento de identidad de Primero, para cualquier ya que podemos establecer y aplicar la ecuación de la relación de equivalencia para obtener Esto implica
por lo tanto, tenemos un inverso aditivo para cada elemento en . Esto debería darnos la pista de que deberíamos pensar en las clases de equivalencia como diferencias formales Otra observación útil es la invariancia de clases de equivalencia bajo escala:
- para cualquier
La finalización de Grothendieck puede verse como un functor y tiene la propiedad de que se deja adjunto al correspondiente functor olvidadizo Eso significa que, dado un morfismo de un monoide abeliano al monoide abeliano subyacente de un grupo abeliano existe un morfismo de grupo abeliano único
Ejemplo de números naturales
Un ejemplo ilustrativo para mirar es la finalización de Grothendieck de . Podemos ver eso Para cualquier par podemos encontrar un representante mínimo utilizando la invariancia bajo escala. Por ejemplo, podemos ver en la invariancia de escala que
En general, si luego
- que es de la forma o
Esto muestra que debemos pensar en el como enteros positivos y el como enteros negativos.
Definiciones
Hay una serie de definiciones básicas de la teoría K: dos provienen de la topología y dos de la geometría algebraica.
Grupo Grothendieck para espacios compactos de Hausdorff
Dado un espacio compacto de Hausdorff Considere el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes vectoriales de dimensión finita sobre , denotado y deje que la clase de isomorfismo de un paquete de vectores ser denotado . Dado que las clases de isomorfismo de paquetes vectoriales se comportan bien con respecto a las sumas directas , podemos escribir estas operaciones en clases de isomorfismo mediante
Debe quedar claro que es un monoide abeliano donde la unidad viene dada por el paquete de vectores trivial . Luego podemos aplicar la terminación de Grothendieck para obtener un grupo abeliano de este monoide abeliano. Esto se llama la teoría K de y se denota .
Podemos usar el teorema de Serre-Swan y algo de álgebra para obtener una descripción alternativa de los paquetes de vectores sobre el anillo de funciones continuas de valores complejos.como módulos proyectivos . Entonces, estos pueden identificarse con matrices idempotentes en algún anillo de matrices. Podemos definir clases de equivalencia de matrices idempotentes y formar un monoide abeliano. Su finalización Grothendieck también se llama. Una de las principales técnicas de cálculo del grupo de Grothendieck para espacios topológicos proviene de la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch , lo que la hace muy accesible. Los únicos cálculos necesarios para comprender las secuencias espectrales son calcular el grupo para las esferas [2] pág . 51-110 .
Grupo Grothendieck de paquetes vectoriales en geometría algebraica
Existe una construcción análoga al considerar paquetes de vectores en geometría algebraica . Por un esquema noetheriano hay un conjunto de todas las clases de isomorfismo de paquetes de vectores algebraicos en. Entonces, como antes, la suma directa de isomorfismos clases de paquetes de vectores está bien definido, dando un monoide abeliano . Entonces, el grupo Grothendieck se define por la aplicación de la construcción de Grothendieck en este monoide abeliano.
Grupo Grothendieck de gavillas coherentes en geometría algebraica
En geometría algebraica, la misma construcción se puede aplicar a paquetes de vectores algebraicos sobre un esquema uniforme. Pero, existe una construcción alternativa para cualquier esquema noetheriano. Si miramos las clases de isomorfismo de haces coherentes podemos modificar por la relación si hay una breve secuencia exacta
Esto le da al grupo Grothendieck que es isomorfo a Si es suave. El grupo es especial porque también hay una estructura de anillo: la definimos como
Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , tenemos que
es un isomorfismo de anillos. Por lo tanto, podemos usarpara la teoría de la intersección . [3]
Historia temprana
Se puede decir que el tema comienza con Alexander Grothendieck (1957), quien lo utilizó para formular su teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Toma su nombre del alemán Klasse , que significa "clase". [4] Grothendieck necesarias para trabajar con gavillas coherentes en una variedad algebraica X . En lugar de trabajar directamente con las gavillas, definió un grupo utilizando clases de isomorfismo de gavillas como generadores del grupo, sujeto a una relación que identifica cualquier extensión de dos gavillas con su suma. El grupo resultante se llama K ( X ) cuando solo se utilizan poleas libres localmente , o G ( X ) cuando todas son poleas coherentes. Cualquiera de estas dos construcciones se conoce como el grupo Grothendieck ; K ( X ) tiene comportamiento cohomológico y G ( X ) tiene comportamiento homológico .
Si X es una variedad suave , los dos grupos son iguales. Si es una variedad afín suave , entonces todas las extensiones de poleas libres localmente se dividen, por lo que el grupo tiene una definición alternativa.
En topología , al aplicar la misma construcción a los paquetes de vectores , Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch definieron K ( X ) para un espacio topológico X en 1959, y utilizando el teorema de periodicidad de Bott lo convirtieron en la base de una teoría de cohomología extraordinaria . Desempeñó un papel importante en la segunda demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer (circa 1962). Además, este enfoque condujo a una teoría K no conmutativa para álgebras C * .
Ya en 1955, Jean-Pierre Serre había utilizado la analogía de los paquetes vectoriales con los módulos proyectivos para formular la conjetura de Serre , que establece que todo módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo polinomial es libre ; esta afirmación es correcta, pero no se resolvió hasta 20 años después. ( El teorema de Swan es otro aspecto de esta analogía).
Desarrollos
El otro origen histórico de la teoría K algebraica fue el trabajo de JHC Whitehead y otros sobre lo que más tarde se conocería como torsión de Whitehead .
Siguió un período en el que había varias definiciones parciales de funtores-teoría K más altos . Finalmente, Daniel Quillen dio dos definiciones útiles y equivalentes utilizando la teoría de la homotopía en 1969 y 1972. Friedhelm Waldhausen también dio una variante para estudiar la teoría algebraica K de espacios, que está relacionada con el estudio de las pseudoisotopías. . Gran parte de la investigación moderna sobre la teoría K superior está relacionada con la geometría algebraica y el estudio de la cohomología motívica .
Las construcciones correspondientes que involucran una forma cuadrática auxiliar recibieron el nombre general de teoría-L . Es una herramienta importante de la teoría de la cirugía .
En la teoría de cuerdas , la clasificación de la teoría K de las intensidades de campo de Ramond-Ramond y las cargas de las D-branas estables se propuso por primera vez en 1997. [5]
Ejemplos y propiedades
K 0 de un campo
El ejemplo más sencillo del grupo Grothendieck es el grupo Grothendieck de un punto para un campo . Dado que un paquete de vectores sobre este espacio es solo un espacio vectorial de dimensión finita, que es un objeto libre en la categoría de haces coherentes, por lo tanto proyectivo, el monoide de las clases de isomorfismo escorrespondiente a la dimensión del espacio vectorial. Es un ejercicio fácil para demostrar que el grupo Grothendieck es entonces.
K 0 de un álgebra artiniana sobre un campo
Una propiedad importante del grupo Grothendieck de un esquema noetheriano es que es invariante bajo reducción, por lo tanto . [6] De ahí el grupo Grothendieck de cualquier Artiniano -álgebra es una suma directa de copias de , uno por cada componente conectado de su espectro. Por ejemplo,
K 0 del espacio proyectivo
Uno de los cálculos más utilizados del grupo de Grothendieck es el cálculo de para espacio proyectivo sobre un campo. Esto se debe a que los números de intersección de un proyectivo se puede calcular incrustando y usando la fórmula de empujar y tirar . Esto permite realizar cálculos concretos con elementos ensin tener que conocer explícitamente su estructura ya que [7]
K 0 de un paquete proyectivo
Otra fórmula importante para el grupo de Grothendieck es la fórmula del paquete proyectivo: [8] dado un paquete vectorial de rango r sobre un esquema noetheriano , el grupo de Grothendieck del paquete proyectivo es gratis -módulo de rango r con base. Esta fórmula permite calcular el grupo de Grothendieck de. Esto hace posible calcular elo superficies de Hirzebruch. Además, esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck al observarlo es un paquete proyectivo sobre el campo .
K 0 de espacios singulares y espacios con singularidades de cociente aislado
Una técnica reciente para calcular el grupo de espacios de Grothendieck con singularidades menores proviene de evaluar la diferencia entre y , que proviene del hecho de que cada paquete de vectores se puede describir de manera equivalente como un haz coherente. Esto se hace usando el grupo Grothendieck de la categoría Singularidad [9] [10] a partir de geometría algebraica no conmutativa derivada . Da una secuencia larga y exacta que comienza con
K 0 de una curva proyectiva suave
Para una curva proyectiva suave el grupo Grothendieck es
Aplicaciones
Paquetes virtuales
Una aplicación útil del grupo Grothendieck es definir paquetes de vectores virtuales. Por ejemplo, si tenemos una incrustación de espacios lisos luego hay una breve secuencia exacta
dónde es el paquete conormal de en . Si tenemos un espacio singular incrustado en un espacio liso definimos el paquete conormal virtual como
Otra aplicación útil de los paquetes virtuales es la definición de un paquete tangente virtual de una intersección de espacios: ser subvariedades proyectivas de una suave variedad proyectiva. Entonces, podemos definir el paquete tangente virtual de su intersección como
Kontsevich usa esta construcción en uno de sus artículos. [12]
Personajes de Chern
Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la teoría K topológica de un espacio hasta (la finalización de) su cohomología racional. Para un paquete de líneas L , el carácter de Chern ch se define por
De manera más general, si es una suma directa de paquetes de líneas, con las primeras clases de Chern el carácter Chern se define aditivamente
El carácter Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase Chern de un producto tensorial. El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .
Teoría K equivariante
La teoría K algebraica equivariante es una teoría K algebraica asociada a la categoríade haces equivariantes coherentes en un esquema algebraicocon acción de un grupo algebraico lineal , a través de la construcción Q de Quillen ; así, por definición,
En particular, es el grupo de Grothendieck de. La teoría fue desarrollada por RW Thomason en la década de 1980. [13] Específicamente, demostró análogos equivariantes de teoremas fundamentales como el teorema de localización.
Ver también
- Periodicidad de bott
- Teoría KK
- Teoría de KR
- Lista de teorías de cohomología
- Teoría K algebraica
- Teoría K topológica
- Teoría K del operador
- Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
Notas
- ^ Atiyah, Michael (2000). "K-Theory Pasado y Presente". arXiv : matemáticas / 0012213 .
- ^ Park, Efton. (2008). Teoría K topológica compleja . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-38869-9. OCLC 227161674 .
- ^ Grothendieck. "SGA 6 - Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres" .
- ^ Karoubi, 2006
- ^ por Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 ) y Gregory Moore en K-Theory y Ramond-Ramond Charge .
- ^ "Grupo Grothendieck para el espacio proyectivo sobre los números duales" . mathoverflow.net . Consultado el 16 de abril de 2017 .
- ^ "Teoría y homología de kt.k - Grupo de Grothendieck para el espacio proyectivo sobre los números duales" . MathOverflow . Consultado el 20 de octubre de 2020 .
- ^ Manin, Yuri I (1 de enero de 1969). "Conferencias sobre el functor K en geometría algebraica". Encuestas matemáticas rusas . 24 (5): 1–89. Código Bibliográfico : 1969RuMaS..24 .... 1M . doi : 10.1070 / rm1969v024n05abeh001357 . ISSN 0036-0279 .
- ^ "ag. geometría algebraica - ¿Es el grupo algebraico de Grothendieck de un espacio proyectivo ponderado generado finitamente?" . MathOverflow . Consultado el 20 de octubre de 2020 .
- ^ a b Pavic, Nebojsa; Shinder, Evgeny (25 de marzo de 2019). "Teoría K y la categoría de singularidad de singularidades cocientes". arXiv : 1809.10919 [ math.AG ].
- ^ a b Srinivas, V. (1991). Teoría K algebraica . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4899-6735-0. OCLC 624583210 .
- ^ Kontsevich, Maxim (1995), "Enumeración de curvas racionales a través de acciones toroidales", The moduli space of curves (Texel Island, 1994) , Progress in Mathematics, 129 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 335-368, arXiv : hep-th / 9405035 , Señor 1363062
- ^ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952-1995) .
Referencias
- Atiyah, Michael Francis (1989). K-teoría . Clásicos del libro avanzado (2ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. Señor 1043170 .
- Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Manual de K-Theory . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4. Señor 2182598 .
- Park, Efton (2008). Teoría K topológica compleja . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 111 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-85634-8.
- Swan, RG (1968). Teoría K algebraica . Apuntes de clase en matemáticas. 76 . Springer . ISBN 3-540-04245-8.
- Karoubi, Max (1978). K-teoría: una introducción . Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2.
- Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : matemáticas / 0602082 .
- Hatcher, Allen (2003). "Paquetes de vectores y teoría K" .
- Weibel, Charles (2013). El libro K: una introducción a la teoría K algebraica . Grad. Estudios en Matemáticas. 145 . Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-9132-2.
enlaces externos
- Grothendieck-Riemann-Roch
- Página de Max Karoubi
- Archivo de preimpresión de K-Theory