En matemáticas , un camino en un espacio topológico es una función continua del intervalo unitario cerrado dentro
Los caminos juegan un papel importante en los campos de la topología y el análisis matemático . Por ejemplo, un espacio topológico para el que existe una ruta que conecta dos puntos cualesquiera se dice que está conectado a una ruta . Cualquier espacio puede dividirse en componentes conectados a la ruta . El conjunto de componentes de un espacio conectados a una ruta. a menudo se denota
También se pueden definir caminos y bucles en espacios puntiagudos , que son importantes en la teoría de la homotopía . Si es un espacio topológico con punto base luego un camino en es uno cuyo punto inicial es . Asimismo, un bucle en es uno que se basa en .
Definición
Una curva en un espacio topológico. es una función continua de un intervalo no vacío y no degenerado Un camino en un es una curva cuyo dominio es un intervalo compacto no degenerado (lo que significason números reales ), dondese llama el punto inicial del camino yse llama su punto terminal . Un camino de a es un camino cuyo punto inicial es y cuyo punto terminal es Cada intervalo compacto no degenerado es homeomorfo arazón por la cual un camino a veces, especialmente en la teoría de la homotopía, se define como una función continua del intervalo de la unidad cerrada dentro Un arco o C 0 -arc en es un camino en eso también es una incrustación topológica .
Es importante destacar que una ruta no es solo un subconjunto de que "parece" una curva , también incluye una parametrización . Por ejemplo, los mapas y representan dos caminos diferentes de 0 a 1 en la línea real.
Un bucle en un espacio basada en es un camino desde a Un bucle puede considerarse igualmente un mapa. con o como un mapa continuo del círculo unitario a
Esto es porque es el espacio cociente de Cuándo se identifica con El conjunto de todos los bucles en forma un espacio llamado espacio de bucle de
Homotopía de caminos
Las rutas y los bucles son temas centrales de estudio en la rama de la topología algebraica llamada teoría de la homotopía . Una homotopía de caminos precisa la noción de deformar continuamente un camino mientras se mantienen fijos sus puntos finales.
Específicamente, un homotopy de caminos, o path-homotopy , en es una familia de caminos indexado por tal que
- y está arreglado.
- el mapa dada por es continuo.
Los caminos y conectados por una homotopía se dice que son homotópicos (o más precisamente homotópicos de trayectoria , para distinguir entre la relación definida en todas las funciones continuas entre espacios fijos). Asimismo, se puede definir una homotopía de bucles manteniendo fijo el punto base.
La relación de ser homotópico es una relación de equivalencia en caminos en un espacio topológico. La clase de equivalencia de una rutabajo esta relación se llama la clase de homotopía de a menudo denotado
Composición de la ruta
Se pueden componer caminos en un espacio topológico de la siguiente manera. Suponer es un camino desde a y es un camino desde a . El camino se define como la ruta obtenida al atravesar primero y luego atravesar :
Claramente, la composición de la ruta solo se define cuando el punto terminal de coincide con el punto inicial de Si uno considera todos los bucles basados en un punto entonces la composición de la ruta es una operación binaria .
La composición de la ruta, cuando se define, no es asociativa debido a la diferencia en la parametrización. Sin embargo, es asociativo hasta la homotopía de ruta. Es decir,La composición de la ruta define una estructura de grupo en el conjunto de clases de bucles de homotopía basadas en un punto en El grupo resultante se denomina grupo fundamental de basada en generalmente denotado
En situaciones que requieren asociatividad de la composición de la ruta "en la nariz", una ruta en en cambio, puede definirse como un mapa continuo de un intervalo a por cualquier real Un sendero de este tipo tiene una longitud definido como La composición de la ruta se define como antes con la siguiente modificación:
Mientras que con la definición anterior, , y todos tienen longitud (la longitud del dominio del mapa), esta definición hace Lo que hizo fallar la asociatividad para la definición anterior es que, aunque y tienen la misma longitud, es decir el punto medio de ocurrió entre y mientras que el punto medio de ocurrió entre y . Con esta definición modificada y tienen la misma longitud, es decir y el mismo punto medio, encontrado en en ambos y ; de manera más general, tienen la misma parametrización en todas partes.
Groupoide fundamental
Hay una imagen categórica de caminos que a veces es útil. Cualquier espacio topológicoda lugar a una categoría donde los objetos son los puntos dey los morfismos son las clases de caminos de homotopía. Dado que cualquier morfismo en esta categoría es un isomorfismo, esta categoría es un grupoide , llamado grupoide fundamental deLos bucles en esta categoría son los endomorfismos (todos los cuales son en realidad automorfismos ). El grupo de automorfismo de un punto en es solo el grupo fundamental basado en . De manera más general, se puede definir el grupoide fundamental en cualquier subconjunto de utilizando clases de homotopía de caminos que unen puntos de Esto es conveniente para el teorema de Van Kampen .
Ver también
- Curva § Topología
- Espacio conectado a la ruta localmente
- Espacio de ruta (desambiguación)
- Espacio conectado a la ruta
Referencias
- Ronald Brown , Topología y agrupaciones, Booksurge PLC, (2006).
- J. Peter May , Un curso conciso en topología algebraica, University of Chicago Press, (1999).
- James Munkres , Topology 2ed, Prentice Hall, (2000).